Funcion

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.  "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.  Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función(unívoca) de X.  La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes.  Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores  que toma Y constituye su recorrido".
Función
Una función es una regla de correspondencia entredos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.

        Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio. 
    Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contradominio o imagen.
Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. La entrada es el dominio, los cálculos que hagael aparato con la entrada son en sí la función y la salida sería el contradominio. 
Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio.

Notación: al número que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos con una letra, digamos o o cualquier otra. 
Al número que "sale" de la máquina lo denotamos con el símbolo 

Diferencias entre función y relación
Una relación es cualquierconjunto de pares ordenados, o cualquier correspondencia entre conjuntos y una función es la que da exactamente un valor a la variable dependiente (y) para cada valor de la variable independiente (x) en el dominio.
Una relación entre 2 conjuntos A y B es cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB, incluso el vacío. Una función de A en B debe cumplir que para todo elemento de A exista unúnico elemento de B (que se suele llamar f(a)) relacionado con él. Una forma de clasificar las relaciones es la siguiente: se dice que R es reflexiva si para todo elemento de A (a, a) esta en la relación. Se dice que es simétrica si cada vez que (a, b) está en la relación, (b, a) está en la relación, antisimétrica si cada vez que (a, b) y (b, a) están en la relación, a=b y transitiva si cada vezque (a, b) y (b, c) están en la relación, (a, c) esta en la relación.
Si una relación es reflexiva, simétrica y transitiva, se dice que es de equivalencia. Si una relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva se dice que es de orden.
No se puede decir que una relación es creciente o decreciente, porque cada elemento puede estar relacionado con varios o con ningún elemento. Delasfunciones (si son de R en R) si se pueden decir si son crecientes o decrecientes (o ninguno de los 2 casos, como pasa con la función sen x).
En cuanto a la continuidad, hay que recordar que una función puede ser continua en un punto y no en otro.
La definición de función continua en un punto es la siguiente: para todo epsilon positivo existe un delta >0 de tal forma que para todo x /este a menos de deltade x0, la distancia de (f(x)a f(x0) es menor que epsilon y una función se dice continua a secas si es continua en todo a una función se dice discontinua si existe al menos un punto donde no es continua.
Dominio
En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los valorespara los cuales la función estádefinida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien.
Rango
Son todos los valores posibles de f(x) o sea de Y. Si tenemos f(X) = sen (X) El rango va de -1 a +1.
Si F(X) = una parábola cóncava en forma de U. El rango va del vértice dala parábola hacia arriba hasta + infinito.
¿Para qué se representa una gráfica?
Una gráfica es la representación de datos,...