Funcionamiento Reloj De Arena

El reloj de arena consta de dos recipientes iguales de forma aproximadamente cónica unidos por un cuello cilíndrico por donde fluye la arena desde el recipiente superior al inferior. El reloj se coloca sobre una balanza electrónica de alta sensibilidad, que mide la diferencia entre el peso del reloj cuando está en marcha y cuando está parado.
A medida que la arena fluye del recipiente superioral inferior, su centro de masas se mueve hacia abajo, su aceleración ac es hacia abajo, por lo que la resultante de las fuerzas sobre el sistema será hacia abajo y por tanto, la balanza medirá una fuerza N que será menor que el peso mg.
Este razonamiento como vamos a ver es incorrecto, ya que aunque es cierto que el centro de masas se mueve hacia abajo, su aceleración ac es hacia arriba. Labalanza medirá una fuerza N que será mayor que el peso mg.



Descripción
En la figura, se muestra un reloj de arena en un instante t. Sea y2 la posición de la superficie libre de la arena en la porción superior e y1 la posición en la porción inferior. La posición del cuello cilíndrico que une ambas porciones es a. Sea A(y) el área de la sección trasversal del reloj de arena en la posicióny, y ρ la densidad de la arena.



La posición Yc del centro de masas del sistema está dada por



donde M es la masa total del reloj de arena, y C es una constante que tiene en cuenta la arena que está cayendo, la masa del recipiente de vidrio y otros detalles fijos de la construcción del reloj de arena.

Derivando con respecto del tiempo, obtenemos la velocidad del centro de masas vcEl flujo f se define como la masa que sale del recipiente superior en la unidad de tiempo, o que entra en el recipiente inferior en la unidad de tiempo.



La velocidad del c.m. vc tiene una expresión muy simple

Mvc=f(y1-y2)

Como y10, la aceleración del c.m. es siempre positiva, hacia arriba, aunque el centro de masas se mueve hacia abajo. Cuando el reloj está en marcha, labalanza mide una fuerza N mayor que el peso Mg del reloj parado.

En esta deducción, no se considera el estado transitorio, cuando la arena comienza a caer ni cuando termina de fluir la arena, solamente la situación intermedia.



Reloj de arena de forma cilíndrica
Consta de dos cilindros iguales de radio R y longitud L, unidos por un cuello por el que fluye arena a razón constante de f kg/s.Posición del centro de masa

Calculamos el centro de masas de la arena contenida en ambos recipientes, despreciando el cuello que los une. Los centros de masas de la arena de cada una de las porciones se señalan en la figura mediante puntos de color rojo.

La masa (o volumen para un cuerpo homogéneo) de la porción inferior es πR2y1

La posición de su centro de masas y1/2

El volumende la porción superior πR2(y2-a)

La posición de su centro de masas (y2+a)/2


La posición del centro de masas del sistema es



Velocidad del c.m.

Derivando con respecto del tiempo



donde se ha definido el flujo f de arena como



Aceleración del c.m.

Derivando respecto del tiempo



La aceleración del centro de masas es constante

A partir de la fórmula (1)podemos obtener también la aceleración del c.m.



Como A(y1)=A(y2)=πR2

y la masa de la arena es M=ρ πR2L





Reloj de arena de forma cónica
Consta de dos conos iguales de radio R y altura H, unidos por sus vértices.

Posición del centro de masa

En el instante t, la arena está contenida en un cono de radio r y altura (H-h) y un tronco de cono de radio R de base y altura h.Centro de masa de un cono macizo o de un tronco de cono



La posición yc centro de masa de una figura cónica de revolución alrededor del eje Y se calcula mediante la fórmula



Para integrar se ha de relacionar x e y



La integral es inmediata



El denominador es el volumen del tronco de altura h.

Cuando h=H tenemos el centro de masas de un cono macizo de radio R y...