Funciones Acotadas

SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES:

Una función es simétrica respecto del origen [pic] cuando todo punto de la gráfica de f tiene su simétrico respecto de O en la misma gráfica.

Si [pic] es un punto de la gráfica, su simétrico [pic] pertenece también a la misma gráfica: Si consideramos la siguiente figura, los puntos P y [pic] son simétricosrespecto del origen y sus coordenadas verifican que [pic]

Por tanto,

Una función es simétrica respecto del origen [pic] cuando para todo punto x del dominio D se tiene que [pic] pertenece a D y [pic].

Las funciones simétricas respecto del origen reciben el nombre de FUNCIONES IMPARES. Este nombre proviene de que enel caso de que se trate de funciones polinómicas simétricas respecto del origen, éstas tienen todos sus exponentes impares.

Ejemplos de funciones simétricas respecto del origen:

▪ La función [pic] ya que [pic]

Su gráfica como sabemos es (hipérbola equilátera) :

[pic] [pic]

▪ La función [pic] ya que [pic]

▪ La función [pic] ya que [pic]

SIMETRIARESPECTO DEL EJE DE ORDENADAS (OY). FUNCIONES PARES:

Sea [pic]. Se dice que f es simétrica respecto del eje de ordenadas (OY) cuando todo punto de la gráfica de f tiene su simétrico respecto de OY en la misma gráfica.

Si [pic] es un punto de la gráfica, su simétrico [pic] pertenece también a la misma gráfica: Si consideramos la siguiente figura, los puntos P y [pic] son simétricos respectodel eje OY y sus coordenadas verifican que

[pic]

Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas (OY) cuando para todo punto x del dominio D se tiene que [pic] pertenece a D y [pic].

Geométricamente significa que si doblamos el papel por el eje OY, las dos partes de la gráfica coinciden.

Estas funciones reciben también el nombre de FUNCIONES PARES. Este nombreproviene de que en el caso de que se trate de funciones polinómicas simétricas respecto del eje OY, éstas tienen todos sus exponentes pares.

Ejemplos de funciones simétricas respecto del eje de ordenadas:

▪ La función cuadrática [pic] ya que [pic].

▪ La función valor absoluto [pic] ya que [pic]

▪ La función [pic] ya que [pic]

Sus respectivas gráficas serían:[pic][pic][pic]

FUNCIÓN PERIÓDICA:

Sea [pic]. Se dice que f es periódica si existe un número real, no nulo, T, llamado PERIODO, tal que para todo [pic], [pic] y se verifica que [pic].

De la propia definición se deduce que si T es un periodo de la función f, también lo es 2T, 3T,..., es decir sus periodos son múltiplos enteros del menor periodo positivo T, que recibe el nombre de periodoprincipal o propio.

El conocimiento de la gráfica de una función en un periodo nos permite construir por periodicidad toda la gráfica.

Ejemplos de funciones periódicas:

▪ Todas las funciones circulares:

Las funciones seno y coseno tienen por periodo [pic], mientras que la función tangente y la cotangente tienen por periodo [pic].

▪ La función decimal o mantisa: superiodo principal es 1.

FUNCIONES ACOTADAS.

Funciones acotadas superiormente.

Una función f se dice que está acotada superiormente si existe un número real M tal que

[pic]

Este número real M recibe el nombre de COTA SUPERIOR de la función f. Geométricamente significa que ninguna imagen es superior al valor M y, por tanto, la gráfica de la función f estará por debajo de la recta y =M.

NOTA: Si M es una cota superior de la función f, cualquier otro número real M’ mayor que M, también es cota superior de f. En consecuencia, si una función está acotada superiormente siempre tendrá un conjunto de cotas superiores.

Funciones acotadas inferiormente.

Una función f se dice que está acotada inferiormente si existe un número real m tal que

[pic]

Este número real m...