Funciones compuestas

Facultad de Ciencias Económicas - Universidad de Buenos Aires
Análisis Matemático II (284-4) - Ing. Carlos Hernández y Lic. Guido Ianni

Función Compuesta
1. Funciones de una variable: Funcióncompuesta y regla de la cadena
Recordemos que la regla de la cadena para funciones de una sola variable nos da una
expresión para derivar una función compuesta. Si
y
, donde
son
funcionesdiferenciables, entonces es indirectamente una función diferenciable de .

Si intervienen funciones de más de una variable independiente la regla de la cadena tiene
varias versiones que nos dan una reglade derivación de la composición de funciones para
diferentes casos.
2. Primer Caso. Derivada de una función de dos variables compuesta con otra de una
variable independiente.
Supongamos una funciónde dos variables
donde a su vez cada una de estas
variables dependen de una variable . Esto significa que es también una función que
depende indirectamente de . Formalmente:
Sea

con

resultala función compuesta:

Demostraremos ahora un teorema que nos aportará una expresión para encontrar la
derivada de respecto de .
2.1 Hipótesis:
1) Si
2)

es diferenciable en el punto
sonderivables en tal que

3)

2.2 Enunciado:

es derivable en

donde

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2.3 Demostración:

Por un lado recordemos que

Por otro lado verificamos también que:

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2.4 Un ejemplo.
Para encontrar

en

Hallaremos primero

si

con
y

.
.

Calculamos ahora las derivadas

Entonces

3. Segundo caso:Funciones compuestas de más de una variable independiente.
El teorema que acabamos de demostrar aporta una expresión que nos permite encontrar
la derivada de una función compuesta de una sola...