Funciones Cuadraticas Y Racionales

www.matesxronda.net José A. Jiménez Nieto
Matemáticas 3o ESO Funciones cuadráticas y racionales · 1
FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES
1. FUNCIONES CUADRÁTICAS.
Representemos, en función de la longitud de la base (x), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro 12 metros.
De ellos, ¿cuáles son las medidas del rectángulo que tiene mayor área?
Consideremos un rectángulo de base x yaltura h:
Como el perímetro es 12 metros, se verifica:
2x + 2h = 12 Þ 2(x + h) = 12 Þ x + h = 6 Þ h = 6 - x
Por tanto, el área de dicho rectángulo es:
y = base × altura = x × h = x × (6 - x) = 6x - x2 Þ y = 6x - x2
Formamos una tabla de valores para ver como varía el área, y, a medida que variamos la base x:
Base º x 0’5 1 1’5 2 2’5 3 3’5 4 4’5 5 5’5
Área º y = 6x - x2 2’75 5 6’75 8 8’75 9 8’758 6’75 5 2’75
Dibujamos la gráfica correspondiente y obtenemos:
Por tanto, las medidas del rectángulo que tiene área máxima son x = 3 metros de base y h = 6 - x = 3 metros de altura,
siendo 9 m2 dicha área.
La función representada anteriormente y = 6x - x2 se llama función cuadrática y su gráfica es una parábola.
La recta de ecuación x = 3 es el eje de la parábola (la gráfica es simétricarespecto de esta recta) , y el punto V (3, 9)
es el vértice de la parábola.
Las funciones cuadráticas son aquellas cuya expresión es un polinomio de segundo grado, esto es, funciones
de la forma y = ax2 + bx + c. Sus gráficas reciben el nombre de parábolas.
www.matesxronda.net José A. Jiménez Nieto
Matemáticas 3o ESO Funciones cuadráticas y racionales · 2
2. LA FUNCIÓN CUADRÁTICA DE ECUACIÓN y= ax2.
Vamos a representar las funciones (1) y = x2, (2) y = 2x2 y (3) 2
2
1
y = x , que son del tipo y = ax2, con a > 0.
x y = x2 y = 2x2 2
2
1
y = x
-3 9 18 4’5
-2 4 8 2
-1 1 2 0’5
0 0 0 0
1 1 2 0’5
2 4 8 2
3 9 18 4’5
Si representamos ahora las funciones opuestas a las anteriores, (1) y = -x2, (2) y = -2x2 y (3) 2
2
1
y = - x , las tablas de
valores de estas funciones sonlas mismas que antes, cambiando el signo a los valores de la variable y.
x y = -x2 y = -2x2 2
2
1
y = - x
-3 -9 -18 -4’5
-2 -4 -8 -2
-1 -1 -2 -0’5
0 0 0 0
1 -1 -2 -0’5
2 -4 -8 -2
3 -9 -18 -4’5
A la vista de las gráficas se deducen las propiedades de estas funciones.
La parábola de ecuación y = ax2 tiene las siguientes propiedades:
· Su dominio es el conjunto de los números reales: Domf = R.
· Si a > 0, la parábola está abierta hacia arriba.
Si a < 0, la parábola está abierta hacia abajo.
· La función es continua.
· Si | a | > 1, la parábola es más estrecha que la y = x2.
Si | a | < 1, la parábola es más ancha que la y = x2.
· Es simétrica respecto del eje de ordenadas (simetría par) ya que f (-x) = a(-x)2 = ax2 = f (x).
El eje de ordenadas Y (recta de ecuación x = 0) esel eje de la parábola.
· El punto V = (0, 0) es el vértice de la parábola.
Si a > 0, la función tiene un mínimo absoluto en su vértice, siendo Im f = [0, +¥).
Si a < 0, la función tiene un máximo absoluto en su vértice, siendo Im f = (-¥, 0].
· Si a > 0, la función es decreciente en (-¥, 0) y creciente en (0, +¥).
Si a < 0, la función es creciente en (-¥, 0) y decreciente en (0, +¥).www.matesxronda.net José A. Jiménez Nieto
Matemáticas 3o ESO Funciones cuadráticas y racionales · 3
EJERCICIOS
1. Observa las ecuaciones de las siguientes funciones.
a) y = 3x2 b) 2
3
1
y = x c) y = -4x2 d) 2
4
1
y = - x
a) ¿Qué parábolas están abiertas hacia arriba? ¿Y hacia abajo?
b) ¿Qué parábolas son más anchas que y = x2? ¿Y más estrechas?
c) Representa sobre unos mismos ejes dichasparábolas, así como las parábolas de ecuación y = x2 e y = -x2.
2. Expresa el área de un triángulo equilátero en función de su lado. ¿Qué tipo de función se obtiene? Represéntala gráficamente.
3. TRASLACIÓN DE PARÁBOLAS.
Las parábolas de ecuación y = ax2 son las más sencillas. A partir de estas parábolas se obtienen otras por traslación.
· Traslación vertical: y = ax2 + p
Observa que las...