Función cuadratica

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Función cuadrática

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Función cuadrática
En matemáticas una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:

Gráficas de funciones cuadráticas.

donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano XY haciendo:

esto es:

es una parábola vertical, orientada haciaarriba o hacia abajo según el signo de a.

Función cuadrática

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Estudio de la función
Corte con el eje y
La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

lo que resulta:

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino independiente de la función.

Corte con el eje x
La función corta al eje x cuando yvale 0, dada la función:

tendremos que:

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es sabido por la expresión:

donde:

se le llama discriminante, Δ:

según el signo del discriminante podemos distinguir:

Función cuadrática Discriminante positivo Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, y por tanto la parábolacortara al eje x en dos puntos: y . Veamos por ejemplo la función:

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que cortara el eje x cuando:

que tendrá por solución general:

en este caso:

que resulta:

Para esta ecuación el discriminante tiene valor positivo:

y por tanto tiene dos soluciones:

operando:

Función cuadrática

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Los puntos: (-1,0), (5,0) son los de corte con el eje x, como se puede ver en lafigura. Discriminante nulo Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en , la parábola solo tiene un punto en común con el eje x, el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola confluyen. si la función cuadrática:

que cortara al eje de las x si:

su solución sera:

Operando los valores, tendremos:

la raíz de cero es cero, luego el discriminante en este caso valecero, y habrá una única solución:

El punto de corte de la función con el eje de las x es (2,0), que en este caso es tangencial de la función con el eje, ver figura.

Función cuadrática Discriminante negativo Δ < 0, la ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje x. Si tenemos la función siguiente:

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que corta el eje x cuando:

para encontrar su solución haremos:Haciendo las operaciones, tendremos:

Al no existir ningún número real que sea la raíz de –8, no se puede continuar haciendo las operaciones, por lo que podemos decir que esta función no tiene corte con el eje x, como se ve en la figura. Si tenemos en cuenta la existencia de los números imaginarios, podemos realizar las siguientes operaciones:

Continuando con las operaciones:

dando comosolución:

Dado el plano cartesiano xy, real, la parábola vista no corta el eje real x en ningún punto, esa misma ecuación estudiada dentro de los números complejos presenta dos soluciones, cumpliéndose de este modo el Teorema

Función cuadrática fundamental del álgebra.

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Extremos relativos
Para localizar los extremos relativos, se calcula la derivada de la función, y se iguala a cero, lasolución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática:

calculamos su derivada respecto a x:

que si la igualamos a cero, tenemos:

donde x valdrá:

En la vertical que pasa por este valor de x se encontrar el valor máximo o mínimo relativo de la función. Para saber si es un máximo o un mínimo es necesario ver la derivadasegunda de la función, veamos:

esto es: 2a sera positivo cuando a sea positivo y negativo si a es negativo, por tanto, si la derivada segunda 2a es positiva la parábola es cóncava y el punto será un mínimo de la función, si a es negativa la parábola será convexa y sea un máximo. Ejemplo 1 Dada la función:

De la figura, calcularemos su derivada primera:

Función cuadrática

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Esta...
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