FUNCIONES CUADRATICAS

INTRODUCCION


Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas; son ampliamente usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con forma de “U” puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores parabólicos que forman la base de los platos satelitales y faros de loscarros. Las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en día, desde los carros hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado funciones cuadráticas para su diseño.
Comúnmente usamosecuaciones cuadráticas en situaciones donde dos cosas se multiplican juntas y ambas dependen de la misma variable. Por ejemplo, cuando trabajamos con un área. Si ambas dimensiones están escritas en términos de la misma variable, usamos una ecuación cuadrática. Porque la cantidad de un producto vendido normalmente depende del precio, a veces usamos una ecuación cuadrática para representar las gananciascomo un producto del precio y de la cantidad vendida. Las ecuaciones cuadráticas también son usadas donde se trata con la gravedad, como por ejemplo la trayectoria de una pelota o la forma de los cables en un puente suspendido.

























DESARROLLO

Una aplicación muy común y fácil de entender de una función cuadrática es la trayectoria seguida por objetos lanzados hacia arriba y concierto ángulo. En estos casos, la parábola representa el camino de la pelota (o roca, o flecha, o lo que se haya lanzado). Si graficamos la distancia en el eje x y la altura en el eje y, la distancia que del lanzamiento será el valor de x cuando y es cero. Este valor es una de las raíces de una ecuación cuadrática, o intersecciones en x, de la parábola. Sabemos cómo encontrar las raíces de unaecuación cuadrática; ya sea factorizando, completando el cuadrado, o aplicando la fórmula cuadrática.
 Consideremos el tiro hecho por un lanzador de peso. Nota que x = 0 cuando el lanzador tiene el tiro (una bola de metal pesada en su mano); el tiro aún no ha salido. El lanzador usualmente comienza con el tiro en su hombro, entonces y (la altura) no es 0 cuando x = 0:

Ejemplo
Problema
Un lanzador depeso puede ser modelado usando la ecuación, donde x es la distancia recorrida (en pies) y yes la altura (también en pies). ¿Qué tan largo es el tiro?
 

 
 
 

 
El lanzamiento termina cuando el tiro cae a tierra. La altura y en esa posición es 0, entonces igualamos la ecuación a 0.
 
 
 

 
Esta ecuación es difícil de factorizar o de completar el cuadrado, por lo que la resolveremos usando lafórmula cuadrática, 
 

 

 
Simplificar
 

 
o
 

 
Encontrar ambas raíces
 
 
 
 
 
x ≈ 46.4 o -4.9
 
¿Tienen sentido las raíces? La parábola descrita por la función cuadrática tiene dos intersecciones en x. Pero el tiro sólo viajó sobre parte de esa curva.
 
Una solución,  -4.9, no puede ser la distancia recorrida porque es un número negativo
 
La otra solución, 46.4 pies, debe ser la distancia dellanzamiento
Solución
 
Aproximadamente 46.4 pies
 
 
 


Otro uso común de las ecuaciones cuadráticas en aplicaciones del mundo real es encontrar el valor máximo (el mayor o más alto) o el mínimo (el menor o más bajo) de algo. Recuerda que el vértice es el punto donde una parábola da la vuelta. Para una parábola que abre hacia abajo, el vértice es el punto más alto, lo que ocurre al máximo valorposible de y. Para una parábola que abre hacia abajo, el vértice es el punto más bajo de la parábola, y ocurre al mínimo valor de y.
 
Para encontrar el máximo o el mínimo con una ecuación cuadrática, usualmente queremos poner la ecuación cuadrática en su forma vértice de una ecuación cuadrática, . Esto nos permite rápidamente identificar las coordenadas del vértice (h, k).
 
Veamos cómo...