funciones cuadricas


Walter Mora F,  Geovanni Figueroa M.

Superficies cuadráticas

Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloidee hiperboloide.
 
 
 Definición  (superficies cuadráticas)


La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables

se conocen como superficies cuadráticas, salvo casos degenerados. 

 
Observación: en la ecuación de segundo grado deliberadamente no hemos incluido los términos mixtos , y , pues la presencia de estos genera superficies con rotación, tema que no trataremosen el curso
Elipsoide
La gráfica de la ecuación:



corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenadosen ), y .La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto (! ) o una elipse. La figura 1 muestra su gráfica.


Figura 1. Elipsoide
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Paraboloide elíptico
La gráfica de la ecuación



es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales son elipse :



Sus trazas sobre planos verticales, ya sean o sonparábola.

Figura 2. Paraboloide elíptico
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Paraboloide hiperbólico
La gráfica de la ecuación:




es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planoshorizontales son hipérbolas o dos rectas  (). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano sonparábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar, como se observa en la figura 3.

Figura 3. Paraboloide  hiperbólico
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Conoelíptico
La gráfica de la ecuación:



es un cono elíptico.Sus trazas sobre planos horizontales son elipses.Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas.Su...