Funciones Cuaraticas

Funciones Cuadráticas

Competencia: Resolver problemas de ingreso, costo y utilidad, utilizando funciones cuadráticas para la solución de ejercicios propuestos por el profesor, con disciplina, orden y precisión.Duración: 14 horas

3.1 Función cuadrática.
Una función cuadrática en una variable x con coeficientes reales es una ecuación de la forma
 
y con
Si el valor de a es mayo a cero la función tiene un punto mínimo en su vértice y puede ser utilizada para representar a un a función de costos.

Por el contrario si valor es negativo la función tiene un máximo y puede serutilizada para representar a una función de ingreso o utilidad.



 
Ejemplos de funciones
 

Tipos de funciones cuadráticas.

3.1.1 Solución algebraica con una incógnita
3.1.1.1 Por formula general.
El procedimiento consiste en usar la formula: para resolver la ecuación: en la que se pueden presentar los siguientes casos

Ejemplo,resolver por al formula general la siguiente ecuación:

3.1.1.2 Por factorización.

La siguiente propiedad de los números reales: la podemos aplicar para resolver ecuaciones cuadráticas por el método de factorización.
 

Ejemplo:

 
 

Ejemplo:

 
 
Ejemplo:

 

Para una ecuación de la forma x2 = a, con a real podemos proceder como sigue:
 

Ejemplos:
 
Ecuación | raíces|
x2 = 45 | |
x2 = -9 | |
7 n2 = 12 | |
(3 n +1)2 = 25 | |

3.1.1.3 solución gráfica con una incógnita.

Las siguientes graficas muestran algunas situaciones que se pueden presentar en la solución de una ecuación cuadrática con una incógnita.


Sin solución real Solución única Dos soluciones




Sin solución real Solución única Dos solucionesResolver por el método gráfico la siguiente ecuación:
x | F(x) |
0,00 | |
0,50 | |
1,00 | |
1,50 | |
2,00 | |
2,50 | |
3,00 | |

3.2. Aplicaciones de la función cuadrática.
3.2.1Ingreso, costo y utilidad cuadrática
Los conceptos básicos de costo, utilidad y volumen se mantienen igual que en la segunda unidad lo que cambia es la forma de la ecuación que ahora contiene untermino de segundo grado.

3.2.2 Punto de equilibrio financiero cuadrático
Como consecuencia de de una oferta o una demanda de segundo grado se obtiene un punto de equilibrio cuadrático.

El siguiente cuadro resume algunas de las aplicaciones de la función
cuadrática en las ciencias administrativas.

Ejemplo de aplicación: En un edificio de 60 departamentos se rentan todos si la renta esde 150 dólares al mes y queda uno vacante por cada 3 dólares de incremento en la renta si el mantenimiento, los servicios y otros costos del edificio ascienden a 5,000 dólares por mes más 50 dólares por cada apartamento ocupado y 20 dólares por cada apartamento vacante.

a) Encuentre la función de costo, como función de la cantidad de departamentos ocupados y como función del precio de larenta.

b) La ecuación de ingreso en función del precio: Primero se encuentra una función de demanda en función del precio
c)

Precio | Demanda |
150 | 60 |
153 | 59 |

Se sustituye la función de demanda en la función de ingreso:
Para tener:

d) La ecuación de utilidad en función del precio

d) ¿Qué renta debe cobrarse, si la ganancia será de 1,225 dólares mensuales? (Lautilidad es el ingreso por las rentas menos todos los costos).

Representación gráfica:

El área de color verde representa la utilidad en función del precio

Ejemplo de aplicación: Cierto artículo de lujo se vende a $1000; a través de todo el estado, la cantidad de ventas es de 20,000 artículos al año. El gobierno del estado esta considerando imponer un impuesto a las ventas de tales...