FUNCIONES CUBICAS

Función cúbica

La función cúbica es aquella que queda definida por una expresión polinómica de tercer grado.
La forma general de expresar la función cúbica es:
f: RR tal que f(x) = ax3 + b x2 + c x+ d con a, b, c, d R y a  0
En la función cúbica siempre Dom(f) = R e Im(f) = R
La función cúbica más simple es f(x) = x3 donde a= 1 y b= c = d = 0. Su gráfica servirácomo base para trazar la gráfica de cualquier función cúbica.
Para representar gráficamente a y = f(x) = x3 haremos la tabla de valores:




Esta curva se llama parábola cúbica básica.
Dom(f) = Ry Im(f) = R y vértice V= (0, 0)
Una propiedad importante de esta parábola es que es simétrica respecto del origen de coordenadas y por lo tanto es una función impar es decir que f(x) = -f(-x).En efecto: -f(-x) = -(-x)3 = -(-x3) = x3 = f(x)
Crece en todo su dominio, es decir que para todo x1, x2  R si x1 < x2 f(x1) < f(x2).
En efecto: si x1 < x2  x13 < x23  f(x1) < f(x2).Forma polinómica y canónica de una función cúbica: La función cúbica cuya forma polinómica es f(x) = a x3 + b x2 + c x+ d con a, b, c, d R y a  0 puede expresarse en forma canónica de lasiguiente manera: f(x) = a(x – h )3 + k con a, h, k R
Veremos ahora que sucede con el gráfico de una función cúbica f(x) = a(x – h )3 + k al variar los parámetro a, h y k.

I) Supongamos que h = k =0, es decir que la función queda expresada por f(x) = a x3 y asignemos distintos valores al parámetro a
Veamos que pasa si tomamos a > 0
Si a= 1  y = x3 (1)
Si a= 2  y = 2x3 (2)
Si a= 3  y = 3x3(3)
Si a= 1/2  y = 1/2x3 (4)




En todos estos casos se observa que:
Dom(f) = R ; Im(f) = R ; V = (0, 0).
Si a>0 entonces la función crece en todo su dominio.
Es simétrica respecto del origende coordenadas por lo tanto es impar

Veamos en general que pasa cuando a<0
Si a= -1  y = -x3 (1)
Si a= -2  y = -2x3 (2)
Si a= -3  y = -3x3 (3)
Si a= -1/4  y = -1/4x3(4)

En todos estos casos...