Funciones elementales

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FACULTAD DE INFORMATICA
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ANALISIS
COMPLEJO

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DPTO. MATEMATICA
APLICADA
3er CURSO

Hoja No 4: Funciones elementales
1. Hallar todos los n´umeros complejos que, en cada caso, satisfacen la ecuaci´on
1. e4z = i.
2. e

z+i
z

= 1 − i.

3. sen(z) = 3.
4. sen(z) + cos(z) = 2.
2. Si z = x +iy, probar las relaciones
sen z = sen x cosh y + i cos x senh y
cos z = cos x cosh y − i sen x senh y
Deducir de ellas:
(i) sen z = sen z y cos z =cos z.
(ii) sen z y cos z son funciones no son acotadas.
3. Consid´erese una rama de log z que sea holomorfa en el dominio C \ {z = x + iy; x =y, y ≥ 0}.
Si en esta rama log 1 = 2πi, calcular:
1. log i.
√
2. log( 3 + i).
√
3. log(− 3 + i).
4. Dada la funci´on logar´ıtmica
log z = Log ρ +iθ,

−

π
3π
≤θ≤
,
2
2

1. ¿En qu´e dominio de C dicha funci´on define una rama holomorfa?
2. Calcular log(−1 − i).
5. Dada la funci´on f (z) =Log(z − i). Se pide:
1. Determinar en qu´e dominio es holomorfa.
2. Calcular f (−i).
6. Encontrar los conjuntos de n´
umeros complejos ( y se˜nalarlos en el plano complejo) en los que
z
las funciones e , cos(z) y cosh(z) toman
(a) valores reales,
(b) valores imaginarios puros.

7. Describir (ydibujar), en cada caso, la regi´on del plano complejo en que transforma la funci´on
1. ez al rect´angulo R =

z ∈ C;

2. z 1/2 al sector circularS =
3. z i/2 al dominio C \ (−∞, 0].
4. z 2i al dominio C \ (−∞, 0].

A ≤ Rez ≤ B
0 ≤ Imz ≤ π

z ∈ C;

1
4

≤ |z| ≤ 4
0 ≤ argz ≤

π
2