Funciones En Matematicas

FUNCIONES.



Como hemos dicho en la lección anterior, las funciones trascendentes son las que expresan la variable x vinculada a operaciones no algebraicas. Entre ellas distinguiremos:

Funciones exponenciales. En nuestros estudios secundarios hemos aprendido a elevar a potencia un número determinado a ( 0 cuando:
• El exponente es positivo o nulo: a3 = a · a · a. Ejemplos: 32= 9; (0 = 1.

• El exponente es negativo: a-5 = 1/a5. Ejemplos: (½)-3 = 1/(½)3 = 23.

• El exponente es fraccionario: a3/2 = (a3 . Ejemplos: 3-¼ = 1/3¼ = 1/4(3

• Nada se ha dicho cuando el exponente es un número irracional, pero podemos pensar que al considerar un irracional como una sucesión de números racionales, es posible interpretar este caso como una sucesión que seaproxima al valor buscado. Así 5(2, (siendo 1,4; 1,41; 1,414; … aproximaciones sucesivas de (2), nos dará los valores aproximados siguientes:
51,4 = 514/10 = 10(514 = 9,518269693579 ( 9,52;
51,41 = 5141/100 = 100(5141 = 9,67269972893 ( 9,67;
51,414 = 51414/1000 = 1000(51414 = 9,735171039199 ( 9,73;
……..
5 1,414213562373 = 9,738517742335
• Con estas consideraciones presentes y laspropiedades conocidas de los números reales definimos la función exponencial como y = f(x) = ax (con a > 0), es decir una potencia donde la variable independiente es el exponente. Las gráficas correspondientes para a < 1, y a > 1 son las siguientes. (El caso en que a = 1 no lo consideramos como función exponencial ya que ella se reduce a la función constante f(x) = 1)Pueden observarse en los gráficos las siguientes propiedades de la función exponencial:
1) La función exponencial no se anula nunca, ya que para todo x es ax > 0.
2) Cualquiera sea el valor de a > 0 f(0) = a0 = 1, en consecuencia todas las gráficas pasan por el punto (0; 1).
3) El valor de la función cuando x = 1 nos da siempre la base de la exponencialpuesto que f(1) = a1 = a.


Un caso particularmente importante en matemática, es la función exponencial cuya base es el llamado número e que es un irracional, cuyo valor aproximado es
e ( 2,71828…> 0, y se la denomina exponencial natural, f(x) = ex , cuya gráfica es:



Funciones hiperbólicas. La función exponencial y = ex permite definir otras funciones muy importantes enmatemática llamadas como decimos funciones hiperbólicas.
Son las siguientes:
[pic] (1)

[pic] (2)

sh x, se lee “seno hiperbólico de x”; ch x se lee “coseno hiperbólico de x”.

De estas definiciones resultan las siguientes propiedades:
a) sh(-x) = - sh(x) es decir la función sh(x) es impar; y ch(-x) = ch(x) esta función es par.


b) sh(0) =0 y ch(0) = 1


c) Sumando las funciones dadas se obtiene: ch(x) + sh(x) = ex [1]


d) Restando la segunda de la primera se obtiene: ch(x) – sh(x) = e-x


e) Multiplicando estas dos últimas expresiones resulta: ch2(x) – sh2(x) = 1 relación fundamental que nos permite calcular cada función en término de la otra.
ch(x) = + (sh2(x) + 1y sh(x) = ((ch2(x) – 1


f) Dividiendo (1) : (2) se obtiene la función


[pic]






Las gráficas correspondientes son:








La gráfica del coseno y = ch(x) se denomina catenaria siendo esta la forma que toma un cable suspendido por sus extremos bajo la acción de la gravedad.



Funciones logarítmicas. En los cursos secundarios hemosestudiado como operación inversa de la exponenciación, la logaritmación. Decíamos que el logaritmo en base b de un número x, es el exponente y al que hay que elevar la base b para obtener el valor x. En símbolos: y = logb x si se verifica x = by con b > 0 y b ( 1
En particular si b = 10 tenemos los llamados logaritmos decimales o de Brigg. Se indican...