funciones estadisticas

Función gaussiana


Curvas gaussianas con distintos parámetros.


Forma tridimensional.
En estadística la función gaussiana (en honor a Carl Friedrich Gauss), es una función definida por la expresión:

donde a, b y c son constantes reales (a > 0).
Las funciones gaussianas se utilizan frecuentemente en estadística correspondiendo, en el caso de que a sea igual a , a lafunción dedensidad de una variable aleatoria con distribución normal de media μ=b y varianza σ2=c2.
Propiedades [editar]
Las gaussianas se encuentran entre las funciones elementales, aunque no poseen primitivas elementales. Sin embargo, el valor exacto de la integral impropia sobre todo el rango real puede derivarse a partir del valor de la integral de Gauss obteniéndose que:

El valor de la integral es 1 si ysolo si , en cuyo caso la función gaussiana es la función de densidad de una variable aleatoria condistribución normal de media μ=b y varianza σ2=c2. Se muestran varias gráficas de funciones gaussianas en la imagen adjunta.
Las funciones gaussianas con c2 = 2 son las autofunciones de la transformada de Fourier. Esto significa que la transformada de Fourier de una función gaussiana no es sólootra gaussiana, sino además un múltiplo escalar de la función original.
La gráfica de la función es simétrica con forma de campana, conocida como campana de Gauss. El parámetro a es la altura de la campana centrada en el punto b, determinando c el ancho de la misma.
Aplicaciones [editar]
La primitiva de una función gaussiana es la función error. Estas funciones aparecen en numerosos contextos delas ciencias naturales, ciencias sociales, matemáticas e ingeniería. Algunos ejemplos:
En estadística y teoría de probabilidades, las funciones gaussianas aparecen como la función de densidad de la distribución normal, la cual es una distribución de probabilidad límite de sumas complicadas, según el teorema del límite central.
Una función gaussiana es la función de onda del estadofundamental del oscilador armónico cuántico.
Los orbitales moleculares usados en química computacional son combinaciones lineales de funciones gaussianas llamados orbitales gaussianos.
Matemáticamente, la función gaussiana juega un papel importante en la definición de los polinomios de Hermite.
Consecuentemente, están también asociadas con el estado de vacío en la teoría cuántica de campos.
Los rayosgaussianos se usan en sistemas ópticos y de microondas.
Las funciones gaussianas se utilizan como filtro de suavizado en el procesamiento digital de imágenes.

Variable aleatoria
En probabilidad y estadística, una variable aleatoria o variable estocástica es una variable estadística cuyos valores se obtienen de mediciones en algún tipo de experimento aleatorio. Formalmente, una variable aleatoria esuna función, que asigna eventos (p.e., los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a números reales (p.e., su suma).
Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles resultados de un experimento aún no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto (p.e., como resultado de medición incompletao imprecisa). Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar diferentes valores; una distribución de probabilidad se usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes valores.
Las variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar valores aleatorios como valores lógicos, funciones... Eltérmino elemento aleatorio se utiliza para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados. Un concepto relacionado es el de proceso estocástico, un conjunto de variables aleatorias ordenadas (habitualmente por orden o tiempo).
Índice
  [ocultar] 
1 Definición de variable aleatoria
1.1 Concepto intuitivo
1.2 Definición formal
1.3 Rango de una variable aleatoria
2 Ejemplo
3 Caracterización de...