Funcion Gamma
Páginas: 7 (1607 palabras)
Publicado: 16 de abril de 2012
Función Gamma
I. Definición
Un numero natural, en donde n puede ser cualquier real mayor que cero. Dicha integral es lo que llamamos función Gamma.
Γλ=0∞e-ttλ-1dt (λ>0)
Al igual que con otras funciones, la definición no solo tiene sentido para λ real mayor que cero, sino también para números complejos, y es dentro de este marco que su estudio se vuelve más claro. En este caso ladefinición tiene sentido para cualquier complejo con parte real positiva o pues, tomando el valor principal de tz−1, la integral
Γz=0∞e-ttz-1dt
es convergente. Su derivada viene dada por
Γ'z=0∞e-ttz-1ln(t)dt
Integral que también converge para Re (z) > 0. Más adelante veremos que se puede continuar analíticamente a todo el plano complejo, excepto a los enteros negativos z = −n donde tienepolos simples con residuo (-1)nn!.
La función Γ es considerada la generalización a los complejos de la función factorial, pues
Γn+1=n!.
Para darnos cuenta de la validez de esta última relación primero observemos que
Γ1=1 Γ1=limk→∞e0-e-k=1
Y notemos que
Γz+1=zΓz (por ahora para Rez>0)
Para ello basta integrar por partes. Luego
Γn+1=nΓn=nn-1Γn-1=...=nn-1…2Γ1=n!
II.Forma infinitesimal de la función Gamma
Esta definición de la función gamma resulta muy útil en la obtención de nuevas representaciones y resultados, veamos a continuación como a partir de la forma (1.1), se llega a una nueva representación de la función gamma.
III. Función gamma como producto infinito: forma de Weierstrass
Reescribiendo la forma (IV.1) como:Obtenemos de inmediato
Usando que , obtenemos
Ahora, multiplicando y dividiendo (2.5) por
Resulta
Como
La constante de Euler-Mascheroni definida como
=0.577216…
Nos permite obtener la siguiente expresión, equivalente a la expresión
Que es la forma Weierstrass de la función Gamma.
Una identidad apartir del producto de Weierstrass
La expresión de la función gamma como producto de Weierstrass, nos posibilita llegar de forma directa a la siguiente identidad:
Que más adelante utilizaremos para obtener otras identidades importantes.
Por ahora, veamos como se llega a esta identidad, desde la forma de Weierstrass podemos escribir:
Con lo que se obtienen casi de inmediato lassiguientes expresiones
Llegando así a la identidad.
IV. Función gamma como integral definida
Quizás la definición más utilizada para la función gamma es la forma de integral definida, usualmente llamada Forma de Euler:
(V.1)
Donde la restricción que se hace a z es necesaria para garantizar la convergencia de la integral.
Otras formas integrales de la funcióngamma
Cuando la función gamma aparece en problemas físicos, se presenta en la forma integral (V.1) o en alguna variación de la misma como
(V.2)
o (V.3)
Se puede llegar a (V.2) a partir de (V.1), haciendo el cambio de variable t=u2, así dt=2udu y los límites de integración no cambian, la forma (V.1) se transforma en
Con lo que se llega a (V.2).
Ahora para llegar de (V.1) a(V.3), se hace el cambio de variable , así , o lo que es equivalente , los limites de integración en este caso son 1 cuando t=0 , y 0 cuando , de este modo (V.1) se reescribe como
Ahora, si se invierten los limites de integración, la integral cambia de signo, con lo que se obtiene (V.3)
.
Relación de diferencias
Es posible obtener la relación de diferencias a partir de la formaintegral (3.1), de acuerdo con esta forma es:
Utilizando el método de integración por partes con u=tz y dv= e-t
Obteniendo así la relación de diferencias
(V.4)
La función gamma para los naturales
Calculemos con la forma (V.1)
Como , utilizando la relación de diferencias (V.4), para z=1 resulta
,
Del mismo modo, podemos obtener , y
Que nos permite...
I. Definición
Un numero natural, en donde n puede ser cualquier real mayor que cero. Dicha integral es lo que llamamos función Gamma.
Γλ=0∞e-ttλ-1dt (λ>0)
Al igual que con otras funciones, la definición no solo tiene sentido para λ real mayor que cero, sino también para números complejos, y es dentro de este marco que su estudio se vuelve más claro. En este caso ladefinición tiene sentido para cualquier complejo con parte real positiva o pues, tomando el valor principal de tz−1, la integral
Γz=0∞e-ttz-1dt
es convergente. Su derivada viene dada por
Γ'z=0∞e-ttz-1ln(t)dt
Integral que también converge para Re (z) > 0. Más adelante veremos que se puede continuar analíticamente a todo el plano complejo, excepto a los enteros negativos z = −n donde tienepolos simples con residuo (-1)nn!.
La función Γ es considerada la generalización a los complejos de la función factorial, pues
Γn+1=n!.
Para darnos cuenta de la validez de esta última relación primero observemos que
Γ1=1 Γ1=limk→∞e0-e-k=1
Y notemos que
Γz+1=zΓz (por ahora para Rez>0)
Para ello basta integrar por partes. Luego
Γn+1=nΓn=nn-1Γn-1=...=nn-1…2Γ1=n!
II.Forma infinitesimal de la función Gamma
Esta definición de la función gamma resulta muy útil en la obtención de nuevas representaciones y resultados, veamos a continuación como a partir de la forma (1.1), se llega a una nueva representación de la función gamma.
III. Función gamma como producto infinito: forma de Weierstrass
Reescribiendo la forma (IV.1) como:Obtenemos de inmediato
Usando que , obtenemos
Ahora, multiplicando y dividiendo (2.5) por
Resulta
Como
La constante de Euler-Mascheroni definida como
=0.577216…
Nos permite obtener la siguiente expresión, equivalente a la expresión
Que es la forma Weierstrass de la función Gamma.
Una identidad apartir del producto de Weierstrass
La expresión de la función gamma como producto de Weierstrass, nos posibilita llegar de forma directa a la siguiente identidad:
Que más adelante utilizaremos para obtener otras identidades importantes.
Por ahora, veamos como se llega a esta identidad, desde la forma de Weierstrass podemos escribir:
Con lo que se obtienen casi de inmediato lassiguientes expresiones
Llegando así a la identidad.
IV. Función gamma como integral definida
Quizás la definición más utilizada para la función gamma es la forma de integral definida, usualmente llamada Forma de Euler:
(V.1)
Donde la restricción que se hace a z es necesaria para garantizar la convergencia de la integral.
Otras formas integrales de la funcióngamma
Cuando la función gamma aparece en problemas físicos, se presenta en la forma integral (V.1) o en alguna variación de la misma como
(V.2)
o (V.3)
Se puede llegar a (V.2) a partir de (V.1), haciendo el cambio de variable t=u2, así dt=2udu y los límites de integración no cambian, la forma (V.1) se transforma en
Con lo que se llega a (V.2).
Ahora para llegar de (V.1) a(V.3), se hace el cambio de variable , así , o lo que es equivalente , los limites de integración en este caso son 1 cuando t=0 , y 0 cuando , de este modo (V.1) se reescribe como
Ahora, si se invierten los limites de integración, la integral cambia de signo, con lo que se obtiene (V.3)
.
Relación de diferencias
Es posible obtener la relación de diferencias a partir de la formaintegral (3.1), de acuerdo con esta forma es:
Utilizando el método de integración por partes con u=tz y dv= e-t
Obteniendo así la relación de diferencias
(V.4)
La función gamma para los naturales
Calculemos con la forma (V.1)
Como , utilizando la relación de diferencias (V.4), para z=1 resulta
,
Del mismo modo, podemos obtener , y
Que nos permite...
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