Funciones hiperbolicas

Capítulo 1

Funciones Hiperbólicas
De…nición 1.1. Las funciones seno hiperbólica,
coseno hiperbólica, tangente hiperbólica, cotangente
hiperbólica, secante hiperbólica y cosecante hiperbólica,respectivamente, se de…nen como:
1. senh x =

2. cosh x =

ex

e

4

,

x 2 R.

2
-4 -2

x

,

x 2 R.

3. tanh x =

senh x
,
cosh x

4. coth x =

cosh x
,
senh x

x2 R.

1
6. csch x =
,
senh x

y

x

x

2

2

4

x

-4 -2

2

4

-2

x

x

x

=

e2x 1
, luego
2ex

e
|

y = coth x

y
2
1

1

-4 -2

para todo x2 R, luego la función seno hiperbólico
es creciente sobre R.
e +e
2

4

y

y2

cosh x

D2 senh x = Dx

2

y = cosh x

y = tanh x

ex + e x
=
> 0,
2
| {z }

2

x

0

-2e x ex
senh ( x) =
= senh (x), luego el seno
2
hiperbólico es una función impar.
Dx senh x = Dx

-4 -2

2

-4 -2
-1

Observación 1.1. Para la grá…ca de la función senh,
tenemos que:e

x

1

x 6= 0.

ex

4

y = senh x

x 6= 0.

1
,
cosh x

2

-10

x 2 R.

5. sech x =

y

10

x

2
ex + e
2

y

0

2

4

-4 -2
-1

x

y = sech x2

4

-2

y = csch x

x

e
=
2}
{z

1.1

senh x

Identidades hiperbólicas

1. cosh2 x

senh2 x = 1.

2. sech2 x + tanh2 x = 1.

D2 senh x = 0 , x = 0,

3. coth2 x

y) = senh x cosh y

cosh x senh y .

5. cosh (x

lo que implica que D senh x < 0 para x < 0,
y D2 senh x > 0 para x > 0, por lo tanto
(0; senh (0)) = (0; 0) es un punto de in‡
exión de
lafunción seno hiperbólico. Luego la grá…ca del
seno hiperbólico es como se muestra:

csch2 x = 1.

4. senh (x

2

y ) = cosh x cosh y

senh x senh y .

6. senh (2x) = 2 senh x cosh x.
1

x1.4

7. cosh (2x) = cosh2 x + senh2 x.
8. cosh (2x) = 2 senh2 x + 1 = 2 cosh2 x
9. tanh x =

senh (2x)
.
1 + cosh (2x)

10. coth x =

senh (2x)
.
cosh (2x) 1

11. senh x

senh...