Funciones matemáticas discretas ing sistemas

FUNCIONES
MATEMÁTICAS DISCRETAS ING SISTEMAS

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Funciones

En muchas ocasiones a cada elemento de un conjunto se le asigna un elemento particular de un segundo conjunto.
Por ejemplo suponer que a un grupo de carros se le asigna una letra del conjunto [A,B,C,D,G]. Suponer que se le asigna al Jaguar la A, al Audi la G, al Ferrari la D, al Porsche la B, y al Mercedes la A. Laasignación se ilustraría así
Jaguar Audi Ferrari Porsche Mercedes A B C D G

Definición 1. Sean A y B conjuntos. Una función f de A a B es una asignación de exactamente un elemento de B a cada elemento de A. Escribimos f (a)=b si b es el único elemento de B asignado por la función f al elemento a de f:A B A. Si f es una función de A en B, y se escribe
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Cadapersona en el salón de clase tiene asignada una calificación

1.2 Arias

Benavides
Calero Cardona Navarrete

4.5

4.4
2.9

4.9

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1.2

Arias
Benavides Calero

4.5 4.4 2.9 4.9

Cardona
Navarrete

¿Es esto posible?

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Definición 2. Si f es una función de A en B, decimos que A es el dominio de f y B es el codominio de f. Si f(a)=b, decimos que b es laimagen de a y a es una pre-imagen de b. El rango o imagen de f es el conjunto de todas las imágenes de elementos de A. también, si f es una función de A en B, decimos que f mapea o transforma A en B.

a
B

b=f(a) B

f Del ejemplo anterior, tomemos como H la función que asigna una letra a un carro. H(Jaguar)=A, H(Ferrari)=D. El dominio de H es el conjunto {Jaguar, Audi, Ferrari,Porsche,Mercedes}, el codominio {A,B,C,D,G}, La imagen de H es el conjunto {A,B,D,G}

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Ejemplo: Sea f la función de una cadena de bits de longitud mayor o igual a 2 que le asigna sus dos últimos bits. Entonces, el dominio de f es el conjunto de todas las cadenas de bits de longitud mayor o igual que 2 y tanto el codominio como la imagen son el conjunto {00,01,10,11}.Ejemplo: Sea f:Z→Z la función que asigna el cuadrado de un entero a este entero. Entonces, f(x)=x2, donde el dominio de f es el conjunto de los enteros, el codominio de f se puede elegir que sea el de los enteros también, y la imagen es el conjunto de los enteros positivos que son cuadrados perfectos, es decir {0,1,4,9,…} Ejemplo: Halle el dominio y la imagen de las siguientes funciones La funciónque asigna a cada cadena de bits la diferencia entre el número de unos y ceros
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Definición 3

Sean f1 y f2 funciones de A a R. Entonces f1 + f2 y f1 f2 son también funciones de A a R definidas por:
(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) (f1* f2)(x) = f1(x)* f2(x)

Ejemplo 1: Sean f1 y f2 funciones de R a R tales que f1(x)=x2 y f2(x)=x-x2 . Cuales son las funcionesf1+f2 y f1f2 ?
R// (f1+f2)(x) = f1(x) + f2(x) = x2 + (x-x2) = x

(f1f2)(x) = f1(x) f2(x) = x2 (x-x2) = x3–x4
Ejemplo 2: Sean f1 y f2 funciones de R a R tales que f1(x)=2x+1 y f2(x)=x2+1 . Cuales son las funciones f1+f2 y f1f2 ?

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Definición 4

Sean f una función del conjunto A al conjunto B y sea S un subconjunto de A. La imagende S es el subconjuntode B que consiste de las imágenes de los elementos de S. Se denota a la imagen de S por f(S), así que:

f(S) = { f(s) | s ∈ S}
Ejemplo 1: Sea A={a, b, c, d, e} y B={1, 2, 3, 4} con f(a)=2, f(b)=1, f(c)=4, f(d)=1, y f(e)=1. R// La imagen de el subconjunto S={b, c, d} es el conjunto f(S)={1, 4}

Ejemplo 2: Sea A={a, b, c, d, e} y B={1, 2, 3, 4} con f(a)=2, f(b)=1, f(c)=4, f(d)=1, y f(e)=1. R//La imagen de el subconjunto S={b, c, d} es el conjunto f(S)={1, 4}
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Función Inyectiva

Una función f se dice que es uno a uno o inyectiva, si y solo si f(x) = f(y) implica que x=y para todo x y y en el dominio de f. Una función se dice que es una inyección si es uno a uno.
Ejemplo 1: Determine si la función f(x)=x2 talque f:Z→Z es uno a uno. R//...