Funciones Matematicas

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE

TECNOLOGIA INDUSTRIAL
RODOLFO LOERO ARISMENDI

I.U.T.I.R.L.A

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Asignatura: Matematica I

REALIZADO POR

Barcelona, octubre de 2001
FUNCION

Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia deuna función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha.

No estamos en presencia de una función cuando:
← De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha.
← De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas.

Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.

Aveces esta 'máquina' no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores de la variable para los que la función existe (para los que la 'máquina' funciona) se llama dominio de definición de la función.

Una función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan todos los valores que se nos antojen. El conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores deldominio de definición se llama recorrido de la función.

CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES

← Función Inyectiva:

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.

Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la funciónpor medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

Ejemplo:

 

← Función Sobreyectiva:

Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva (tambien llamada sobreyectiva) , si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f .

A elementos diferentes enun conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio.
Ejemplo:
A = { a , e , i , o , u }
B = { 1 , 3 , 5 , 7 }
f = { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }

Simbólicamente:
f: A ( B es biyectiva Û f es inyectiva y f es sobreyectiva

Ejemplo:

←Función Biyectiva:

Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva , si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez .

Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las doscondiciones tenemos una función BIYECTIVA.

Ejemplo:
A = { a , e , i , o , u }
B = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }
f = { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }

Teorema:
Si f es biyectiva , entonces su inversa f – 1 es también una función y además biyectiva.

Ejemplo:

← Función Par:
Una función f: R(R es par si se verifica que
( x ( R vale f(-x) = f(x)Si f: R(R es una función par, entonces su gráfico es lateralmente simétrico respecto del eje vertical. “Simetría axial respecto de un eje o recta” (el dominio tiene que ser un conjunto simetrico respecto al origen)

Se dice que una función es par si f(x) = f(-x)

Ejemplo: La función y = x2 es par pues se obtienen los mismos valores de y independientemente del signo de x.

La función f(x)=x2es par ya que f(-x) = (-x)2 =x2
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← Función Impar:
Una función f: R(R es impar si se verifica que
( x ( R vale f(-x) = -f(x)

Si f: R(R es una función impar, entonces su gráfico es simétrico respecto del origen de coordenadas. “Simetría central respecto de un punto”. (el dominio tiene que ser un conjunto simetrico respecto al origen)

En el caso de que f(x) = -f(-x) se dice...