FUNCIONES REAL


FUNCIONES
Una función es una relación entre los elementos de dos conjuntos. Pero no es una relación cualquiera. Vamos a ver alguna de sus características. Supongamos que tenemos la función que relaciona cada letra con el número que ocupa en el alfabeto.
Al primer conjunto se le llama conjunto inicial y al segundo conjunto final. A los elementos del conjunto inicial se les llama originales y alos del conjunto final imágenes. A los originales se les representa por x y se denomina variable independiente. A las imágenes se les representa por y y se denomina variable dependiente.
Conjunto inicial: El alfabeto.
Conjunto final: Los números naturales.
Originales: Las letras
Imágenes: Los números
x: a, b, c, d,…
y: 1, 2, 3, 4,…

Una función se define como una relación entre los elementos delconjunto inicial con los elementos del conjunto final de forma que cada original se relaciona como mucho con una imagen.
Si los conjuntos inicial y final son los números reales se trata defunciones reales de variable real.
Las funciones se pueden expresar de tres formas diferentes: mediante una fórmula, por medio de una tabla o con una gráfica.
Supongamos que tenemos la función que relaciona cadanúmero real con su doble más uno. La podemos expresar como


Para construir una tabla de valores que represente esta función calculamos las imágenes de algunos originales; para ello sustituimos en la fórmula la variable x por el original elegido. Así:








Para pasar de la tabla a la gráfica representamos  las parejas de valores  (x,y) obtenidos y los unimos por una línea.
También podemos hacerel paso inverso y pasar de la gráfica a la tabla escribiendo las coordenadas de los puntos por los que pasa la gráfica de la función. Por ejemplo, a partir de los puntos (0,1) y (-2,-3) podemos hacer la tabla



Dominio y recorrido

Vamos a estudiar la función.


Calculamos las imágenes de:

Como vemos la imagen de cero no existe, no se puede calcular.
Así surge el concepto de domino de unafunción: es el conjunto formado por los originales que tienen imagen. Es la parte del conjunto inicial de la que se puede calcular su imagen, es la parte del conjunto inicial en la que la función está definida. En nuestra función son todos los números (reales) menos el cero. Lo expresamos así:





Vamos a calcular ahora los originales de y = 2, y = -1, y = 1:




Resultado que es imposible. Hay unelemento del conjunto final que no tiene original.
Así nos encontramos con el concepto de recorrido o imagen de una función: es el conjunto de imágenes de la función. Es una parte del conjunto final y está formado por las imágenes de los elementos del conjunto inicial. Lo expresamos así:








CÁLCULO DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN REAL
Vamos a ver un pequeño guión que nos permita calcular el dominiode algunas funciones reales.
Funciones Polinómica
Aquellas funciones cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinómica, tienen como dominio todo el conjunto de los números reales: R, puesto que a partir de una expresión polinómica, se puede sustituir el valor de “X” por cualquier número real que hayamos elegido y se puede calcular sin ningún problema el número realimagen “Y”. Son funciones polinómica: La recta (función lineal o afín), la parábola (función de segundo grado) y los polinomios de grado superior.

Funciones Racionales:
Para calcular el dominio de este tipo de funciones el primer paso es igualar el denominador a cero y resolver esa ecuación, una vez resuelta esa ecuación el dominio estará formado por todos los reales excepto las solucionesde la ecuación.

Funciones Irracionales
Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un radical que lleve en su radicando la variable independiente.
Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el conjunto R de los números reales porque al elegir cualquier valor de X siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión que haya...