funciones reales

TEMA 2. DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES REALES Y VECTORIALES
2.1 Derivada direccional. Derivada parcial. Vector gradiente.
 Sea f una función real definida en un abierto A de Rn, y sea . Sea unvector no nulo de Rn. Se llama derivada según el vector v de la función f en el punto a, y se designa por Dvf(a) al límite siguiente, si existe: = . Si = 1, entonces a Dvf(a) se le llama derivadadireccional según en vector v de la función f en el punto a.
 Entonces, si definimos y g: V Rn como g(h)= a + hv, la función : V  Rn es derivable en 0, con F’(0)= = = Dvf(a).
  i= 1, 2, …n, seael vector i-ésimo de la base canónica de Rn. Si existe, la derivada se llama derivada parcial respecto de la variable xi de la función f en a, y se designa por Di f(a). Así pues, Di f(a)= . Como eies unitario, la derivada parcial es una derivada direccional.
 Di f(a) es la derivada en ai de la función real de variable real y, por tanto, Di f(x) se calcula derivando f(x) como función de xi,considerando xj,  j i como constante.
 Se llama vector gradiente de f en a al vector f(a) , es el vector de Rn que tiene por componentes las derivadas parciales de f en el punto a.
 De todaslas derivadas direccionales en a, la de mayor valor absoluto (máxima) es la derivada direccional en la dirección del vector gradiente de f en a, con lo cual la dirección de f(a) es la de mayorvariación de f.

2.2 Derivadas de orden superior. Matriz Hessiana
 Si existe Di f en un abierto A, con aA y a su vez existe la derivada j-ésima de Di f en a, llamaremos derivada parcial segunda, o deorden 2, respecto de las variables xi y xj al número real Dijf(a)= . Repitiendo este proceso se pueden definir las derivadas parciales de cualquier orden de f en el punto a.
 Se dice que una funciónde A en R es de clase q en A, y se escribe fCq(A) cuando en cada punto de A existen y son continuas todas las derivadas parciales de orden q.
 Se llama matriz Hessiana de f en A, y se denota por...