Funciones Trascendentes

UNIDAD 2: FUNCIONES TRASCENDENTES.
Introducción:
La primera unidad del curso de cálculo integral estudia el concepto de la antiderivada de una función, y de manera general, los teoremas y propiedades básicas de integración, así como sus aplicaciones para el cálculo de áreas y volúmenes. En esta segunda unidad se amplía la gama de teoremas para la solución de integrales, sobre todo aquellosque involucran a funciones trascendentes, que si bien es cierto en la unidad anterior se trabajó con integrales de funciones seno y coseno, ahora se manejan otras tantas funciones trascendentes que aparecen de manera común en problemas relacionados con el cálculo integral.
Competencia:
Calcular integrales y derivadas de funciones trascendentes, empleando sus conceptos básicos, propiedades ytecnologías de información, para la resolución de problemas que involucren los aspectos analítico, gráfico y numérico, con disposición para el trabajo en equipo y una actitud crítica y responsable.

2.1 Integración de funciones trascendentes.
Competencia: Resolver integrales de funciones trascendentes, mediante el uso de conceptos yteoremas relacionados.

Considera que se tiene un auto cuyo valor V, está dado por la función , para 0 ≤ t ≤ 10 donde t se mide en años. ¿Cuál es el valor medio del auto en los diez años indicados?
Por lo tanto, el valor medio del auto está dado por .
Para encontrar el valor medio deseado se tiene que resolver la integral de una función exponencial natural (base e), la cual es un ejemplo defunción trascendente, que será tratada en esta unidad.

El problema para calcular el promedio del valor del auto involucra la resolución de la integral de una función exponencial natural, cuyo resultado corresponde a una función f(x) que hasta el momento no se sabe cuál es:

Ya se conoce que integrar una función es una operación inversa a obtener su derivada. Por lo tanto se propone hacer lasiguiente reflexión: ¿Qué función conocida se tiene, tal que al derivarla se obtiene la función ?

Desde luego que la respuesta al planteamiento anterior es la misma función :

Por lo tanto se llega a la conclusión de que la integral de una función exponencial natural, es la misma función exponencial natural.



 Ejemplo 2.1.1: Resuelve la siguiente integral:

Solución:
La integral seresuelve haciendo el cambio de variable u = 2x, para después utilizar el teorema 2.1.1:


 Ejemplo 2.1.2: Encuentra el valor de la integral definida que se muestra:

Solución:
Al igual que en el ejemplo anterior, se utiliza un cambio de variable () y se aplica el teorema 2.1.1:


 Ejemplo 2.1.3: Considera que se tiene un auto cuyo valor V en pesos está dado por la función , para 0 ≤ t≤ 10 donde t se mide en años. ¿Cuál es el valor medio del auto en los diez años indicados?
Solución:
De acuerdo al teorema del valor medio se tiene que:


 Ejemplo 2.1.4: Determina el área indicada en la figura.

Solución:
En la figura se puede observar que la función que corresponde a la curva que limita en la parte superior a la superficie es . Además se tiene que el intervalo de lavariable independiente “x” correspondiente a la superficie indicada es [0,1], por lo tanto, este será el límite de la integral necesaria para el cálculo del área:


 Ejemplo 2.1.5: Encuentra el valor del área limitada por las funciones f(x), g(x) y la recta x =2 en la figura mostrada.

Solución:
Según la figura, los límites de la integral para calcular el área pedida están representados porel intervalo en [0,2] para la variable x. Para terminar de plantear la integral tenemos que a la función f(x) le restaremos la función g(x), debido a que los valores de la primera son mayores que los valores de la segunda (en la gráfica, f(x) se ubica por arriba de g(x)).


 Ejemplo 2.1.6: Resuelve la integral definida que se muestra a continuación:

Solución:
El primer paso consiste en...