Funciones vectoriales

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Lección 1 - Problemas

Problemas

CAPÍTULO 2 FUNCIONES VECTORIALES
Lección 2.2. Curvas en R n

Una aplicación F : I→ R n , donde I es un subconjunto de R se llama una función vectorial. Puesto n que para cada t ∈ I, F( t ) ∈ R , entonces

F( t ) = ( f 1 ( t ), f 2 ( t ), ..., f n ( t ) )

Lasfunciones f i : I→ R, i = 1, 2, ...n son las funciones componentes de F. Es por ello que todas las propiedades de F, como veremos, reposan en las propiedades de las funciones componentes. Ejemplos: 1. F( t ) = P + tA, t ∈ R, P y A vectores fijos de R es una función vectorial que representa una recta en R n . 2. F( t ) = ( cos t, sent ), t ∈ R es una función vectorial que representa una circunferencia de2 centro cero y radio uno en R . 3. F( t ) = ( t, t 2 ), t ∈ R es una función vectorial que representa una parábola La imagen F( I ) es un subconjunto de R n y determina una curva en él. Es claro que que una curva n en R puede estár determinada por diferentes funciones vectoriales, por ejemplo: α ( t ) = t, t 2 , t ≥ 0 y β ( t ) = t 2 , t 4 , definen la misma curva en en R 2 . No obstante, aunquees un abuso, para simplificar la escritura, identificaremos la curva con la función que la define. Operaciónes algebraicas: Definimos las siguientes operaciones entre funciones vectoriales: 1. ( F + G )( t ) = F( t ) + G( t ), t ∈ I, F y G funciones vectoriales.
n

(

)

(

)

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001008/lecciones/cap02/02_02_01.tex Page 2 of 7 2. ( u.F )( t) = u( t ).F( t ), t ∈ I, F una función vectorial y u : I→ R. 3. F, G ( t ) = F( t ), G( t ) , t ∈ I.

4. ( F × G )( t ) = F( t ) × G( t ), t ∈ I, F y G funciones vectoriales con valores en R 3 . 5. (F ° u )( t ) = F( u( t ) ), t ∈ I, F una función vectorial y u : I→ R. Continuidad de funciones vectoriales Definición(2.2.1): Sea F : I→ R una función vectorial. Decimos que F es continua en a ∈ I,si para toda secuencia t n ⊂ I, tal que t n → a, se cumple que F( t n )→ F( a ).
n

{ }

De la Definición (2.2.1) se deduce, inmediatamente, que F es continua en a si y sólo si las funciones componentes de F son continuas en a. Además:

t k→ a

lim F( t k ) = ( lim f 1 ( t k ), ..., lim f n ( t k ) ).
t k→ a t k→ a

(2.2.1)

Derivabilidad de funciones vectoriales La derivada defunciones vetoriales se define de la misma manera como la conocemos para funciones de variable y valor real. Así:

F ( a ) = lim
t→a

′

F ( t + a ) − F( a ) t

(2.2.2)

Cómo se indica en la figura, el vector F ( a ) es el vector dirección de la recta tangente a la curva definida por F y que pasa por el punto F( a ). Si pensamos que F( t ) determina el desplazamiento de una particula en elespacio R n a medida que el tiempo t transcurre, entonces F ′( a ) mide la velocidad del desplazamiento.

′

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Figura No. 1 Es muy fácil deducir de (2.2.1) y (2.2.2) que

F ( a ) = ( f 1 ( a ), ..., f n ( a ) )

′

′

′

( 2.2.3 )

La derivación de funciones vectoriales satisface lassiguientes propiedades: 1. ( F + G ) = F + G . 2. ( u.F ) = u ′.F + u.F , con u : R→ R. 3. F, G
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

=

F,G
′

′

+

F, G
′

′

.

4. ( F × G ) = F × G + F × G . 5. ( F ° u ) ′ = u ′.F ′( u ), con u : R→ R. Como consecuencia de la propiedad 3. anterior tenemos el siguiente Teorema (2.2.1): Sea F una función vectorial definida en algún intervalo I. Si F( t ) para todo t,entonces = c,

F( t ), F ( t )

′

= 0.

El Teorema nos dice que el vector posición de la curva y su vecror tangente son perpendiculares para

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001008/lecciones/cap02/02_02_01.tex Page 4 of 7 todo valor t. Si pensamos que es una partícula que se mueve a lo largo de la curva que describe la imagen de una ′ función vectorial F, entonces F(...