funciones y relaciones


Relaciones

El concepto de relación surge de manera natural en el análisis de un sistema.
Un ejemplo, en los números Naturales se establece la relación “… es menor que ...”.
Bajo esta relación R el número 2 se relaciona con el 3: 2 es menor que 3, pero no así al contrario (3 no es menor que 2).
Una relación es binaria cuando se establece entre dos objetos.

Un ejemplo:
R : x < y .Una relación es un conjunto de pares ordenados. Un par ordenado (también llamada pareja ordenada) consta de dos elementos: (a, b) en donde el orden en que aparece (primero a, después b) indica la relación: a R b de a con b. Una relación asocia un elemento de un conjunto A con un elemento de otro conjunto B o con un elemento del mismo conjunto A.

Ejemplos:
* Para A= {a, b, c}
R1= {(a, a) (a,b) (a, c) (b, a) (b, b) (b, c) (c, a) (c, b) (c, c)}
⇒ R = A× A 1
* Para A = {España, Inglaterra, Italia}
B= {Paris, Roma, Madrid}
R2: (España, Paris) (Inglaterra, Roma) (Italia, Madrid)
* R3: (Pepe, María) (Pepe, Laura) (Pepe, Tere)





Esta relación puede ser: ... hermano de...

Otro ejemplo:
A = {Familia Rodríguez}
Miembro EdadPeso Estatura
Papá Alfonso (A) 42 77 1.80
Mamá Beatriz (B) 40 57 1.68
Hijo 1 Carlos (C) 19 61 1.88
Hijo 2 David (D) 17 66 1.63
Hijo 3 Elena (E)15 48 1.53
R1: …es papá de… (A, C) (A, D) (A, E)
R2: …es más alto que… (C, A) (C, B) (C, D) (C, E) (A, B) (A, D) (A, E) (B, D)
(B, E) (D, E).
R3: …es más grande que… (A, B) (B, C) (C, D) (D, E), (A, C) (B, D) (C, E), (A, D)(B, E) (A, E)

Representaciones gráficas de relaciones
Gráfica de relaciones no numéricas







Diagrama de flechas
12 3 4
(x, y) ( y, y) ( y, z) (z, x)














Relación: ...es más grande que...
Nomenclatura para relaciones (R)
• R = {(x, y) / x < y} relación: x < y
• Es menor que ={(x, y) / x < y}
• x R y si R: ...es menor que...
Definición:
Sea R una relación a R b ⇒ =(a ,b ) ∈
Ejemplo:
R = {(x, y),( y, z),( y, y),(z, z)}
z R y es verdadera? no
y R z es verdadera? Si
Si xRy, xRz, zRy, yRz, zRz, son verdaderas, ¿Cuál es la relación R?
R = {(x, y), (x, z), (z, y), (y, z), (z, z)}


Clasificación de relaciones
- Relaciones de equivalencia
- Relaciones de orden
- Funciones

Relaciones de equivalencia
Características (propiedades)

Reflexividad: xRx: ∀x∈S ⇒ xRx ( x está relacionada con x )
Ejemplo: El conjunto de alumnos que se encuentra en su salón de clase
S = {Pedro, Javier, Esteban}
R : está en la misma habitación
Pedro R Pedro → reflexividad

Simetría: ∀x, y∈S . Si x y y x R ⇒ R
Ejemplo: Pedro R Javier ⇒ Javier R Pedro

Transitiva: ∀x, y, z ∈S Si xRy y yRz⇒ xRz
Ejemplo: Pedro R Javier y Javier R Esteban ⇒ Pedro R EstebanDefinición:
Una relación R, definida sobre un conjunto S es una relación de equivalencia ⇔tienen las tres propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva.

Ejemplos:

R : x < y
R : x ≤ y
S = {a, b, c}
R = {(a, a), (c, c), (a, c), (c, a)}
Reflexiva? 3 < 3
Reflexiva? 3 ≤ 3
Reflexiva?
aRa cRc bRb
Simétrica? 3 < 5 y 5 < 3
Simétrica? 3 ≤ 5 y 5 ≤ 3
Simétrica? aRc cRa
Transitiva? 3 < 5
5< 6⇒3 < 6
Transitiva? 3 ≤ 5
5 ≤ 6⇒3 ≤ 6
Transitiva? aRc
cRb→ no
aRb →no

Relación equivalente
X tiene la misma paridad (que sea par o impar)
3 tiene la misma paridad que 3 → Reflexiva
3 tiene la misma paridad que 5 Simétrica
5 tiene la misma paridad que 3
5 tiene la misma paridad que 7 Transitiva



Relación de orden parcial
En matemáticas, una relación binaria...