Funciones Y Sucesiones

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamadolímite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.

La definición significa queeventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementossubsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite (Véase sucesión de Cauchy).

Qué se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite dependiendo del conjunto donde seha definido la sucesión.Índice
1 Límite de una sucesión de números reales
1.1 Definición formal
1.2 Notación
1.3 Ejemplos
1.4 Propiedades
2 Límite de una sucesión compleja
3 Ejemplos
4Tipos de convergencia
4.1 Convergencia puntual
4.2 Convergencia uniforme
5 Sucesiones en otros espacios matemáticos
5.1 Convergencia uniforme sobre compactos
5.1.1 Convergencia débil
5.2 Límiteen un espacio topológico
6 Véase también
7 Enlaces externos

[editar]
Límite de una sucesión de números reales
[editar]
Definición formal

El termino general de una sucesión tiene límite ,cuando tiende a , si para todo valor por pequeño que sea, existe un valor a partir del cual si tenemos que la distancia de a es menor que , es decir:

.
[editar]
Notación

o bien

otambién



o simplemente


[editar]
Ejemplos
La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge al límite 0.
La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante.
La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 +1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1.
Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión an posee límite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee límite...