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CÁLCULO DIFERENCIAL

GUÍAS DE MATEMÁTICAS PRIMER SEMESTRE PROGRAMAS DE EDUCACIÓN SUPERIOR
Francisco J. Sepúlveda C.

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1905- 2008

Cálculo Diferencial.

Francisco J. Sepúlveda C.ESCUELA TECNOLÓGICA INSTITUTO TÉCNICO CENTRAL TEMA 1: NÚMEROS REALES, FUNCIONES Y GRÁFICAS INTRODUCCIÓN El Cálculo se basa en el sistema de los números reales y sus propiedades. Pero, ¿cuáles son los números reales y sus propiedades? Respondamos a esta pregunta, comenzando con algunos sistemas numéricos más simples. Al principio, el hombre solo requería medir y contar, para ello utilizaba los númerosnaturales, que se representan y definen así: N = {0,1,2,3,4,... } . Con estos números se comienza en el Pre-escolar y Primaria a contar libros, frutas, compañeros de curso, dinero. Si a estos números se les agrega los inversos aditivos de los números naturales diferentes de cero, se obtiene el conjunto de los enteros, que se definen así: Z = {,...,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,... }.
Cuando se trata demedir: longitudes, pesos o voltajes, los enteros son inadecuados, no permiten precisión, por estar tan espaciados. Es necesaria ampliar este conjunto. Se llega a considerar cocientes (razones) de los enteros, como números tales como: 3 − 7 8 25 1 , , ,− y . Es te conjunto de números se llaman racionales, y se definen así: 4 8 2 5 3 ⎧ p Q = ⎨ x / x = , p, q ∈ Z , q ≠ 0} . Es decir, todo número , quepueda expresarse como el q ⎩ cociente de dos enteros es un número racional. Luego son racionales: los números naturales, los números enteros, los números decimales con cifra decimal finita y los números decimales con cifra decimal infinita periódica.

¿Sirven los números racionales para medir todas las longitudes? No. Para los griegos 2 era un número inconmensurable, sin embargo fueron losPitagóricos que descubrieron algunos siglos antes de Cristo que si se construye un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 1 unidad, la hipotenusa mide 2 unidades. Este número no puede expresarse como el cociente de dos números enteros, tiene cifra decimal infinita no periódica. ( 2 ≈ 1.4142135623730950... Todos los números que tiene cifra decimal infinita no periódica se llamanirracionales y se representan por I = Q!. Son irracionales: 3 ,

5 , 3 7 , π , e y gran cantidad de números más. La unión de todos los números racionales y todos los números irracionales corresponde a los números reales que se denotan así: R = Q ∪ I . Los reales se representan en una recta, llamada recta real. En ella, a cada punto, le corresponde un número real, y todo número real tiene su ubicación en larecta. Por ello se afirma que la RECTA REAL ES COMPLETA, ni sobran números que no estén ubicados en la recta en la recta, ni sobran puntos de la recta donde no hallan números.
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En resumen , N es un subconjunto de Z, Z es subconjunto de Q y Q es subconjunto de R. I y Q son conjuntos disyuntos, pero I es también subconjunto de R. Es decir:N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, I ⊂ R, Q ∪ I = R .
La recta real.
El conjunto de números reales se puede representar mediante los puntos de una recta horizontal, que se denomina recta real, donde a cada punto le corresponde un único número real. Al número real correspondiente a un punto particular de la recta se le denomina coordenada del punto.

Desigualdades. Dados dos números reales a, entonces: a < b si ysolo si b – a es positiva a = b si y solo si a – b = 0 a > b si y solo si a – b es positiva Propiedades. Si m, n ∈ R, tal que m > n, entonces m + c > n + c para todo c ∈ R. Si m, n ∈ R, y m < n, entonces: mc < nc, si c> 0 y mc > nc, si c< 0 m n m n < , si c > 0 y > , si c < 0 c c c c

Intervalos Un intervalo es un subconjunto de la recta real. Clases de intervalos En general, si a y b son...