Funciones

Universidad Metropolitana Dpto. de Matemáticas Para Ingeniería Cálculo I (FBMI01) Profesora Aida Montezuma Revisión: Profesora Ana María Rodríguez

Semestre 08- 09A

FUNCIONES ELEMENTALES

Las gráficas fueron realizadas con el paquete MatLab

FUNCIONES

Una función f de A en B es una relación que a cada elemento x del conjunto A le asigna un único elemento del conjunto B, llamado f (x). Se escribe: f :A →B

x → f ( x)

• • • • •

El conjunto A se denomina dominio de la función. Se denota por Dom f . A f (x) se le denomina imagen de x mediante f. El conjunto de todas las f (x) se denomina rango de la función. Se denota Rg f . Si A ⊆ R y B ⊆ R la función se denomina función real de variable real. La representación en el plano de todos los pares (x , f ( x) ) se denominagráfica de la función.

Funciones pares e impares: • • Una función real de variable real f es par si f (− x) = f ( x) para toda x. En este caso, la gráfica de la función es simétrica con respecto al eje y. Una función real de variable real f es impar si f (− x) = − f ( x) para toda x. En este caso, la gráfica de la función es simétrica con respecto al eje origen.

Funciones crecientes ydecrecientes: • • • Una función real de variable real f es creciente en un intervalo I si y sólo si x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) < f (x 2 ) para todo par de números x1 y x2 en I. Una función real de variable real f es decreciente en un intervalo I si y sólo si x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) > f (x 2 ) para todo par de números x1 y x2 en I. Una función real de variable real f es estrictamente monótona si es creciente odecreciente

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Resumen tomado del problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar

ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIÓN POLINÓMICA La función real de variable real definida por f ( x) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + L a n x n donde a 0 , a1 , L , a n son números reales se denomina función polinómica. Se escribe f :R → R x → f ( x) = a 0 + a1 x + L + a n x n Si a n ≠ 0 , el grado es n.Dominio: El dominio de toda función polinómica es el conjunto de los números reales, es decir, Dom f = R .

CASOS PARTICULARES

Función constante: La función real de variable real definida por f ( x) = b donde b es un número real se denomina función constante. Se escribe: f :R →R

x → f ( x) = b
i) Dominio: El dominio de toda función constante es el conjunto de los números reales, es decir, Dom f= R . ii) Rango: El rango de toda función constante es el conjunto unitario que contiene a b, es decir Rg f = { b } . iii) Gráfica: La gráfica de toda función constante es una recta paralela al eje x que interseca al eje y en el punto (0 , b ) .

Ejemplo Sea f la función real de variable real definida por f ( x) = −2

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Resumen tomado del problemario Cálculo Diferencial e Integral, porpublicar

i) Dom f = R iii) Gráfica de f :

ii) Rg f = { − 2 }

3

2

1

0

-1

-2

-3 -3

-2

-1

0

1

2

3

Función afín

La función real de variable real definida por f ( x) = ax + b donde a y b son números reales y a ≠ 0 se denomina función afín. Se escribe: f :R → R

x → f ( x) = ax + b
i) Dominio: El dominio de toda función afín es el conjunto de losnúmeros reales, es decir, Dom f = R . ii) Rango: El rango de toda función afín es el conjunto de los números reales, es decir Rg f = R . iii) Gráfica: La gráfica de toda función afín es una recta que interseca al eje y en el punto (0 , b ) e
⎛ b ⎞ interseca al eje x en el punto ⎜ − , 0 ⎟ . El número a se denomina pendiente de la recta. ⎝ a ⎠

Ejemplos: 1) Sea f la función real de variable realdefinida por f ( x) = 4 x − 2 i) Dom f = R iii) Gráfica de f: ii) Rg f = R

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Resumen tomado del problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar

20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Observa que como a = 4 > 0 la pendiente es positiva y la medida del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de la x está entre 0 o y 90 o...