Funciones

OBJETIVO
* Desarrollar la capacidad de interpretación, análisis y reflexión para potenciar en los estudiantes los diferentes métodos de modelación de fenómenos.
COMPETENCIA
* Potenciar el pensamiento variacional y de sistemas algebraicoas.
DESARROLLO TEMATICO
DEFINICION. Entendamos como función la correspondencia establecida entre dos conjuntos, tal que: cada elemento de un conjuntoA se le hace corresponder de algún modo un elemento único de un conjunto B.el conjunto A se llama dominio de definición o simplemente dominio de la función, y el conjunto B se llama codominio de la función. Y se denota por .
Por otra parte si, entonces el elemento de B que le corresponde a se llama imagen de , y se denota por . En adelante los conjuntos A y B serán subconjuntos de los númerosreales. La imagen siguiente nos muestra una aplicación de la definición de función, vemos que la moneda que se introduce por la ranura corresponde al elemento del dominio y el movimiento producido a continuación corresponde a la imagen, es decir por cada moneda introducida se obtiene un movimiento del caballo por un tiempo determinado.

FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN
Las funciones laspodemos representar en forma esquemáticas, por diagramas sagital, o a través del plano cartesiano en dos o en tres dimensiones según la cantidad de variables.

TIPOS DE FUNCIONES
Función inyectiva. Conocida también como función uno a uno, se caracteriza porque a cada elemento de A, le corresponde una y solo una imagen de B, lo cual se resume así: sean tales que , implica . En el caso de unafunción representada en el plano cartesiano, se trazan rectas paralelas al eje x y estas deben cortar la gráfica de la función en un punto único.

Función sobreyectiva. Se caracteriza porque todo elemento del conjunto B es imagen de algún elemento del conjunto A, lo cual se simboliza como

Función biyectiva. Se caracterizan porque estas funciones son tanto inyectivas como sobreyectivasEJERCICIOS PROPUESTOS 6.1
Determinar la naturaleza de las siguientes funciones.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Función compuesta. Dadas dos funciones y , el producto de composición de f y g es la función tal que para cada . De manera más general si f y g son funciones arbitrarias, entonces es la función con dominio
Ejemplo. Suponga que y. Entonces
, mientras que

Funcióninversa.Dada una función , se considera invertible si existe una función tal que las ecuaciones y son lógicamente equivalentes. En tal caso se llama a (la cual es única) la inversa de , y se denota por .
Si es una función invertible, entonces
* y
* para todo , para todo
* es invertible y
* Si es una función real de variable real, la gráfica de es la reflejada de la de enla recta .
Ejemplos.

* Sea , para determinar la inversa de esta función se escribe la ecuación , resolviéndose para , obteniéndose .
En consecuencia .
* Sea , de igual manera reescribimos la función en términos de una ecuación haciendo un cambio en las variables, resolviendo para .

Por tanto,
* Algunas funciones tienen una función inversa para la cual no puede obtenerse unaecuación que la defina explícitamente. Por ejemplo . No obstante existen software que ayudan a determinar el grafo de la inversa partiendo de la gráfica de la función establecida (Algunas calculadoras gráficas tienen esta opción).
Funciones par e impar.
* Función par. Una función es par si para todos los elementos del dominio se cumple que . Por ejemplo, sea , nótese que para cualquier valorla condición se cumple pues
* Función impar. Una función es impar si para todos los elementos del dominio se cumple . Por ejemplo, sea , pues
EJERCICIOS PROPUESTOS 6.2
1. Sean , , calcular:
a.
b.
c.
d.
e.
2. Calcular si es posible la inversa de las siguientes funciones.
a.
b.
c.
d.
3. Verificar si lafunción es par, impar o ninguna...