Funciones

SECCIÓN CÓNICA
Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse como la intersección de un cono circular con un plano que no contenga al vértice del cono. Las distintas cónicas aparecen dependiendo de la inclinación del plano respecto del eje del cono. Si el plano es perpendicular a dicho eje produce una circunferencia; si se lo inclina ligeramente, se obtiene una elipse; cuando es paraleloa una generatriz del cono se tiene una parábola y si corta a ambas ramas del cono la curva es una hipérbola.
Hagamos un esquema de lo que hemos dicho:












Las cuatro secciones cónicas básicas se ilustran en las siguientes figuras:






Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola

CIRCUNFERENCIASe llama circunferencia al conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia constante del centro a todos los puntos de la circunferencia recibe el nombre de radio.

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

A partir de la definición deduciremos la ecuación de una circunferencia que tenga el centro en el origen de coordenadas y radio R.
Si P(x, y) es un puntoque pertenece a la circunferencia entonces la distancia de P al centro es:
d (p,o)=√(x^2+Y^2 )=R


Elevando al cuadrado se obtiene:
X2+Y2 = R2


Que es la ecuación canónica de la circunferencia con centro en el origen y radio R.

Te proponemos que deduzcas la ecuación canónica de la circunferencia con centro en el punto de coordenadas C(a, b) y radio R.

ELEMENTOS DISTINTIVOS DE LACIRCUNFERENCIA

Los elementos que distinguen a las circunferencias son su centro y su radio.

Gráfica de la circunferencia







ELIPSE
Una elipse es el conjunto de puntos P del plano tal que la suma de las distancias entre P y dos puntos fijos F’ y F, llamados focos, es constante. El punto medio del segmento que une los focos se denomina centro.
Para visualizar la definición dela elipse, basta imaginar dos chinches clavados en los focos y un trozo de cuerda atada a ellos. Al ir moviendo un lápiz que tensa esa cuerda, su trazo irá dibujando una elipse, como se muestra en la siguiente figura.
d (P, F’) + d(P, F) = k = 2a

ELEMENTOS DISTINTIVOS DE UNA ELIPSE

La recta que pasa por los focos corta a la elipse en dos puntos llamados vértices. La cuerda que une losvértices es el eje mayor de la elipse y su punto medio el centro de la elipse. La cuerda perpendicular al eje mayor se denomina eje menor.
GRÁFICA DE LA ELIPSE
Hagamos ahora la gráfica en un sistema de ejes coordenados, suponiendo que el centro de la elipse es el origen de tal sistema.




Queda como tarea para los alumnos deducir la ecuación canónica cuando los focos están sobre el eje y, yel centro es el origen de coordenadas.
Se define excentricidad de la elipse como el cociente entre c y a, es decir e = c/a
Observa que al estar situados los focos en el eje mayor entre el centro y los vértices, siempre se tiene que
0 < c < a ⇒ 0 < c/a < 1 ⇒ 0 < e < 1

Es decir, las elipses tienen una excentricidad menor a uno.
Si la excentricidad está más cerca de cero la gráfica es más“circular” y si está más cerca de uno resulta más “alargada”.
PARÁBOLA
Se llama parábola al conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y una recta fija, llamada directriz.

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
A partir de la definición deduciremos la ecuación de una parábola que tenga el vértice en el origen de coordenadas y la directriz paralela al eje x, por lo tanto elfoco es el punto F (0, p) ¿Puedes dar la ecuación de la directriz? Recuerda que por ser paralela al eje x estará representada por una ecuación del tipo y =k (constante).

Si P(x, y) es un punto que pertenece a la parábola entonces la distancia de P al foco es:

d (P,F)= √(〖(X〗^2+〖(Y-P)〗^2 )

Y la distancia de P a la directriz (de ecuación y = – p) es:

d=|y+p|
Luego si el punto está...