funciones





















3. RELACIONES Y FUNCIONES


OBJETIVOS



1. A través del concepto de relación, definir el concepto de función, sus diferentes tipos y sus gráficos.

2. Definir en todas sus formas el concepto de función lineal su ecuación y forma de graficar y su aplicación.

3. Aprender los diferentes métodos de solución de ecuaciones lineales y aplicarlos ala solución de ejercicios.

4. Trabajar los conceptos de función cuadrática, exponencial y logarítmica y su aplicación a otras áreas de la administración y la economía.











3.1. Concepto de relación y de función

3.1.1. Definición de relación y de función

Relación

Se llama relación a todo subconjunto de un producto cartesiano formado por parejas ordenadas así:

SeaA = {1,2} el producto cartesiano AxA = {(1,1); 1,2), (2,1), (2,2)}

Ejemplo:

Dados los conjuntos A = {3,5} y B = {0, 1, 9} construir una relación R: B  (se lee relación de B en A) definida por la función proporcional “x es menor o igual que y”.

BxA = {(0,3), (0,5) (1,5), (0,9), (9,5)}

Luego, se seleccionan las parejas que hacen verdadera la función proposicional x menor o igual quey.

R = {(0,3),(0,5),(1,3), (1,5)}

Gráficamente se tiene:






De las parejas que se obtienen en la relación, a las primeras componentes de la relación se les llama Dominio de la relación (valores de “x” que pueden ser relacionadas) y a los valores de la segunda componente se les llama rango o imágenes de la relación.

Ejemplo:

Hallar el dominio y el rango de la relación

R={(x,y) / 2xy – 3y + 5 =0} definida en los números reales.

Solución:

Dominio: se debe despejar “y” de la relación y analizar “x”.

2xy – 3y + 5 = 0
2xy – 3y = - 5
y (2x – 3 = - 5
y =

2x – 3  0 entonces x  3/2

Rango:

Se despeja x, y se analiza y

2xy = -5 + 3y el rango es para
x = 2x = 0  x = 0 o sea reales.

Función

Muchos modelos matemáticosse describen mediante el concepto de Función.

Un fabricante desea conocer la relación entre las ganancias de su compañía y su nivel de producción; un biólogo se interesa en el cambio de tamaño de cierto cultivo de bacterias durante un tiempo; un psicólogo quisiera conocer la relación entre el tiempo de aprendizaje de un individuo y la longitud de una lista de palabras; y a un químico leinteresa la relación entre la velocidad de una reacción y la sustancia utilizada. En cada caso la pregunta es la misma: ¿cómo depende una cantidad de otra? Esta dependencia entre dos cantidades se describe en Matemáticas como una Función.



Definición de función

Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A uno y sólo un elemento de un conjunto B.

Ejemplo:Al conjunto A se le denomina dominio de la función y se denota, como f. Si x es un elemento de f, entonces el elemento en B se denota por y = f(x) (se lee “f de x”) y al conjunto de valores de B se le llama conjunto imagen.

Se puede pensar una función f como una máquina donde el dominio es el conjunto de entradas (la materia prima) para la máquina; la regla describe la forma deprocesar la entrada y los valores de la función son las salidas de la máquina (ver figura 3).



Figura 3

Es importante entender que la salida f(x) asociada con una entrada x es única.

Un ejemplo de función surge a partir de la relación entre el área de un círculo y su radio. Si x es el radio y y el área de un círculo se tiene que y =  x2.
Para calcular el área de un círculo cuyo radio es5 cm. Se reemplaza x = 5 en la ecuación y se tiene:

y =  (5cm)2 = 25  cm2

En general para evaluar una Función se reemplazan los valores de x.
Sea f la función definida por la regla f(x) = 2x2 – x + 1.



Calcular:

a. f(1) b. f (-2) c. f(h)

f (1) = 2(1)2 – 1 + 1 = 2
f (-2) = 2 (-2)2 – (-2) + 1 = 11
f(h) = 2(h)2 – h + 1
= 2h2 – h + 1

3.1.2. Tipos de...