funciones

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

FUNCIONES INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA
Esta clasificación obedece a la forma en que están
relacionados los elementos del dominio con los del
codominio. Conviene utilizar la notación:
f : Df → Cf
“Función que mapea al dominio Df en el codominio Cf ”
Función Inyectiva (uno a uno)
Definición. Una función f : Df → Cf es inyectiva ouno a uno y
se denota como 1− 1, si a diferentes elementos del dominio le
corresponden diferentes elementos del codominio. En esta
función, para dos valores cualesquiera x1 y x2 de su
dominio se cumple que:
x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 )
Ejemplo. La función f ( x ) = 3 x + 1 es 1− 1 ya que si se define
como
f:\→\
entonces se tendrá que a diferentes
elementos del dominio les correspondendiferentes
elementos del codominio.
Ejemplo. Sea M el conjunto de mujeres con hijos, H el
conjunto de los hijos y f la función que asocia a cada mujer
con su hijo primogénito. Es una función 1− 1 o inyectiva.


2

H (hijos )

M1

HP M2

M2

HP M1

M3

HP M3

M4

HP M4

M ( mujeres )

HP

Ejemplo. Sea la función f : \ → \ dada por f ( x ) = x 2 .
y
f ( x1 ) = f (x2 )

x1 ≠ x2

( x ,f ( x ))
1

( x ,f ( x ))

1

2

x1

x2

2

x

Para comprobar analíticamente si una función es 1− 1 se
despeja, cuando esto es posible, la variable independiente
" x " en términos de la variable dependiente " y " y se
comprueba que para cada valor de " y " exista un solo valor
de " x " .
Para comprobar gráficamente que una función es 1− 1 basta
concomprobar que toda recta paralela al eje " x " corta a la
gráfica de la función en un solo punto.
Si en el ejemplo anterior se limita el dominio de la función es
evidente que se obtienen funciones inyectivas:
f : \ + ∪ {0} → \ dada por f ( x ) = x 2
o bien


f : \ ∪ {0} → \ dada por f ( x ) = x
−

3
2

⎡ π π⎤
Ejemplo. Sea la función f : ⎢ − , ⎥ → \ ; f ( x ) = cos x . Si se
⎣ 2 2⎦grafica se observa que no es 1− 1. Sin embargo, si se cambia
su dominio y ahora se define como:
f : ⎡⎣0,π ⎤⎦ → \ ; f ( x ) = cos x

se verá que cualquier recta horizontal corta a la gráfica en un
solo punto por lo que sí es 1− 1.
y
y
⎡ π π⎤
Df = ⎢ − , ⎥
⎣ 2 2⎦

−

Df = ⎡⎣0,π ⎤⎦

π

π

2

2

x

π

0

x

" sí inyectiva"

"no inyectiva"

Ejemplo. Dos funciones,una que sí es 1− 1 y otra que no
Cf

Df

a

1

d
e

3
sí es 1-1

1

b

c

2

Df

Cf
a

2
3

b

no es 1-1

Ejemplo. Verificar analíticamente que la función f : ⎡⎣0, ∞ ) → \
dada por f ( x ) = x 2 + 4 , es inyectiva.
Solución.
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

4

Función Suprayectiva (sobre)
Definición. Una función es suprayectiva o sobre si todo
elemento desu Codominio es imagen de por lo menos un
elemento de su Dominio, lo que se expresa como:
Sea f : Df → Cf
Si ∀ b ∈ Cf existe a ∈ Df tal que f ( a) = b,
entonces f es sobre

Otra forma de expresar que una función es sobre es decir
que debe cumplir con que su Codominio y su Recorrido sean
iguales, esto es, Rf = Cf
Ejemplo.

Sea la función

f ( x ) = 3x + 1

definida como

f : \ → \. En este caso se ve que todo número real es imagen
de algún otro número real bajo la función f . Esto significa
que el recorrido es igual al codominio y por lo tanto la
función dada es suprayectiva o sobre.

Ejemplo. Analizar si la función definida como f : \ → \ dada
por f ( x ) = x 2
es suprayectiva y, en caso de no serlo,
determinar bajo qué condiciones podría serlo.
Solución.5

Ejemplo. se presentan en este ejemplo dos casos, uno en
que la función es sobre y otra en la que no lo es:
Cf
Cf
Df
Df

1

a

a

1

c

2

2
3

b

sí es sobre

b
d

3

e

no es sobre

Ejemplo.
Verificar que la función definida como
f : ( 0, ∞ ) → ( −∞,0 ) y dada por f ( x ) = − x , es suprayectiva.
Solución.


6

Función Biyectiva (1-1 y sobre)...