Fundamentos de algebra

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Unidad 1. Conceptos Fundamentales de algebra

1.1 Números Fraccionarios

Al dividir 2 números a y b con b diferente de cero, el resultado se llama número fraccionario racional o quebrado.



Los números racionales se clasifican en:

Un número propio se puede simplificar usando el concepto del Máximo común divisor: Nota (esta va sobre la primer imagen): usaremos este esquema comoherramienta para el cálculo del Máximo común divisor, esto no es otra cosa más que una división en donde observamos que el denominador (9) al ser dividido entre el numerador (6) tiene un sobrante de 3. Tomamos nuevamente al numerador 6 y lo dividimos entre el 3 que obtuvimos lo que es igual a 2 dando como sobrante cero lo cual indica que el 3 opera como el Máximo Común Divisor al dividirexactamente al 6 y al 9.

Aquí es importante comentar un punto llamado fracciones equivalentes.

Veamos, ¿Cuál es mayor?

Entonces tenemos que:

Existen otros dos métodos para determinar qué fracción es mayor:

En donde se observa que

Por lo tanto es equivalente a

Otro ejemplo, ¿Cuál es mayor?

Como 48 es mayor que 32 se concluye que es mayor queEsquemáticamente:

Reforcemos con otro ejemplo, ¿Cuál es mayor?

Por lo tanto, simplificar no es más que transcribir una fracción en una fracción equivalente.

Simplificar:

Encontremos el máximo común divisor.

Nota: observemos nuevamente el uso de este esquema, en donde 12 entre 8 es igual a 1 (que se coloca sobre el 8) y sobran 4 (ubicado abajo del 8), posteriormente retomamos al 8 y lodividimos entre el 4 sobrante (reubicándolo a la derecha del 8) dando como resultado 2 (se anota en la parte superior del 4) y como sobrante cero (abajo del 4). El cero como resultado en este esquema nos indica el 4 divide exactamente al 12 y al 8, por lo que es al Máximo común divisor.
Númerooriginal | Númerosimplificado |
| |

Dividamos:

Simplificar:



Simplificar:Simplificar:



Números impropios

Hablemos ahora de los números impropios:

Es un ejemplo de número impropio y cómo podemos observar al dividir 8 entre 6 es mayor que la unidad por lo se puede simplificar la fracción.
.

Dividamos:




Nota sobre : para simplificar 1entero 2 sextos aplicamos el

principio de simetría que indica que si el término de una expresión esoperada, la expresión completa debe ser operada, ya que al no hacerlo la expresión que obtenemos no es la original, es decir, que al simplificar lo que hacemos es buscar la expresión equivalente más simple de la fracción.

Los números impropios son mayores a la unidad.

Utilicemos un dibujo:



¿A qué equivale?

Números mixtos

Ahora hablemos de los números mixtos, estos están constituidos de la siguiente forma:

Con

El chiste de los números mixtos radica en convertirlos en impropios. Comencemos por hacernos una pregunta importante, ¿cuántos cuartos hay en 3 enteros?, la respuesta es:

Si un entero tiene 4 cuartos.
2 enteros tienen 8 cuartos
3enteros tienen 12 cuartos

O más fácil:

Grafiquemos:

Pero faltan ; por lo tanto, tomamos otro entero y lo dividimos en 4 partes y de ellas tomamos 2 y como ya llevamos 12

Usando el método práctico:

Otro caso:

Y uno más:

Operaciones con números fraccionarios

¡Ahora sí estamos listos para hacer operaciones con números fraccionarios!

Suma de fracciones con igualdenominador.

Resolvámoslo por el método gráfico:



Si contamos todos los cuadritos
¿Qué tenemos? :

Sumemos 1 + 3 + 4 + 2 + 3 = 13 que en este caso se le agrega el 2 que es el denominador constante en la operación, lo es igual a:

Ahora hagámoslo utilizando la regla para sumar quebrados:

1. Verificar si los quebrados tienen el mismo denominador:

Y es impropio,...
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