fundamentos de la probabilidad


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FUNDAMENTOS DE LA PROBABILIDAD

1.-CONJUNTOS Y TECNICAS DE CONTEO
El término conjunto juega un papel fundamental en el desarrollo de las matemáticas modernas; Además de proporcionar las bases para comprender con mayor claridad algunos aspectos de la teoría de la probabilidad. Su origen se debe al matemático alemán George Cantor (1845 –1918).
Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección o listado de objetos con características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado.
Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:
-La colección de elementos debe estar bien definida.
-Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos elementos deben serdiferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez.
-El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.
NOTACIÓN: a los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B, C,... y a los elementos con letras minúsculas a, b, c,..., por ejemplo, el conjunto A cuyos elementos son los números en el lanzamiento de un dado.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
En base a la cantidadde elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntos finitos e infinitos.
FINITOS: Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por su longitud o cantidad.
El conjunto de días de la semana.
INFINITOS: Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud.
El conjunto de los números reales.
Existen dos formas comunes de expresar unconjunto y la selección de una forma particular de expresión depende de la conveniencia y de ciertas circunstancias siendo:
EXTENSIÓN: Cuando se describe a cada uno de los elementos.
A = {a, e, i, o, u}
COMPRENSIÓN: Cuando se enuncian las propiedades que deben tener sus elementos.
A = {x | x es una vocal}
Para describir si un elemento pertenece o no a un conjunto, se utiliza el símbolo depertenencia o es
Elemento de, con el símbolo _, en caso contrario _.
A = {1, 2, 3}
2 _ A; 5 _ A
Lo que aquí se mencionará sobre conjuntos serán solo algunos principios elementales, se presentará la notación referente a ellos y se hará una presentación axiomática de aspectos referentes a conjuntos.
Si un objeto pertenece a un conjunto. Diremos que tal objeto es un elemento de dicho conjunto.Notación: b Î A; b es un elemento de A
Existen dos maneras de definir un conjunto, la primera se llama forma enumerativa a la segunda se llama representación descriptiva.
Forma enumerativa o por extensión del conjunto:
Es cuando se listan los elementos, se utiliza cuando el conjunto es pequeño o no existe una correlación en común para definir el conjunto.
p.e.: U = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }; A= { 1,2,3,5,7 }; B = { 0,2,4,6,8 }
Forma descriptiva o por comprensión:
Existe una regla que permite describir los elementos del conjunto.
p.e.: A = { x | x es un numero primo } ó B = { x | x es un numero par }
La línea | significa tal que
OPERACIONES Y LEYES DE CONJUNTO.
La unión de los conjuntos A y B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota launión de A y B por A + B y se llama unión de A y B.

En consecuencia,
X Î ( A + B) Û x Î A Ú x Î B.
Entonces se puede expresar por comprensión este conjunto así:
A + B = {x / x Î A Ú x Î B }

Una interpretación gráfica de la unión de A y B es la siguiente:

En la gráfica la región rayada corresponde a la unión de A y B. Se presentan los conjuntos dentro de un rectángulo que representa elconjunto referencial del cual se seleccionan los conjuntos A y B.
Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a A y a B, esto es, aquellos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota la intersección de A y B por A · B y se lee "A intersección B".
En consecuencia,
X Î A· B Û x Î A Ù x Î B.
El conjunto A· B está dado...