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Leyes de composición interna
Sean E, F y G conjuntos diferentes del vacío tales que F esta definida en G.F: EXE
Es una ley de composición si F=G entonces F es una ley de composición interna a la derecha de G. ejemplo:
: N X Q Q
 (2,1/3)= (1/3)2 = 1/9
 (N, Q)= qn
Si E es igual a G es una ley de composición interna de F a la izquierda.
Si E=F=G entonces F es simplemente unaley de composición interna.
Definición
Una aplicación de F: EXEE es una ley de composición interna de E (x, y)EXE
(X, y)=Z; (x, y) Z
XY=Z X+Y=Z (X, y)=Z
X T Y=Z X Y= Z (X, y) Z
XY=Z PE XY= , X, Y 
 , m Z es una ley de composición interna en Z con
+ = = t


Definición
Llamaremosestructuras algebraicas a todo par de (E,*) constituida por un conjunto E y provisto de una ley de composición interna .toda estructura algebraicas posee propiedades.
Asociativa:
Una ley * en E es asociativa si x, y, z  E, (X*Y)*Z= X*(Y*Z)
Ejemplo 1: X*Y = , X, Y 
Verificar x, y, z 
¿(X*Y)*Z= X*(Y*Z)?
(X*Y)*Z = * Z(1)

X*(Y*Z) = X *
=
=
= (2X+Y+Z) (2)






Propiedad conmutativa
Sea E un conjunto dotado de una ley de composición interna *, se dice que esta ley x, y  E, X*Y= Y*X (X*Y) y (Y*X)
(X, Y)  EXE la composición de X y Y es independiente del orden de la composición, es decirla pareja (X, Y), (Y, X) tiene la misma imagen en función esta definición verifica si la suma, multiplicación, media aritmética, media geométrica, media armónica, son conmutativas en 

Falta

Elemento neutro
Se llama elemento neutro de una a un elemento x, x*e =e *x
Teorema
Una operación interna admite a la sumo un elemento neutro.
P.D “e es único”
Por R.A
Supongamos que noes único entonces existe e, e’ elementos neutros tales que e e’ entonces como e es neutro para X=e’
e’*e= e*e’ =e’ (1)
Como e’ es neutro para x=e
e*e’=e’*e (2) por 1 y 2 e=e’
Elemento simétrico
Es un conjunto que admite un elemento neutro para la operación* un elemento a’ es simétrico. Es inverso a la izquierda de a.
a’*a=e y a la derecha sia*a´=e
Teorema
Si para una ley asociativa un elemento tiene simétrico este es único
p.d. El simétrico es único
R.A existe a y a’ donde aa’
Sup. a’*a*a’’= (a’*a)*a’’=e*a’’=a’’(1)
a’*a*a’’=a’*(a*a’’)= a’*e=a’ (2)
Luego de 1 y 2 a’=a’’

Distributiva
Sea e un conjunto sobre el cual se han definido dos leyes de composición interna *, decimos que * es distributiva ala a izquierda X*(YZ) =X si para todo x, y, z se verifica esto
X*(YZ)=(X*Y)(X*Z)

Ejemplo verificar
Sean X*Y= 2X+2Y y XY=1/2 XY
X*(YZ)= X*1/2 YZ=2X+2(1/2 YZ)=2X+YZ
(X*Y)(X*Z)
(2X+2Y)(2X+2Z)
½[2(X+Y)] [2(X+Z)]
(X+Y)2(X+Z)
2(X2*XZ +XY+YZ)

La axiomatización del conjunto de los números naturales
Definiciones de conjuntos
 Los lN= {0, 1, 2,3…}
 Los  = {…, -3,-2,-1, 0,1, 2,3,…}
 Los Q={ a/b , a,b, Z , b0}
 Los ={ decimales no periódicos}
 los ={lN ,Z,Q,,}
 los C={a+bi, ab.i2=-1}
Los números naturales y sus operaciones existen mucho antes del manejo depurado del concepto de conjunto, sin embargo es mediante este concepto que se le da un sustento valido estrictamente matemático a las nociones adquiridas por la humanidad a lo largo de la historia.Para el estudio de la axiomatización delos números naturales es necesario algunas consideraciones.
En 1978 George Cantón introduce de conjuntos x potentes o coordinantes dos conjuntos A y B son equipotentes si existe una biyeccion entre ellos.
Xa YB: Y=(x)

Conceptos primitivos
un conjunto lN cuyos elementos se llaman números naturales
un objeto matemático llamado cero y...
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