Fórmulas de cardán y ferrari.

Fórmulas de Cardán y Ferrari.
Simplificación e implementación: Dr. Antonio Aguilera.

Fórmulas de Cardán. Sea la ecuación cúbica: x 3 + ax 2 + bx + c = 0 , donde el coeficiente de x 3 es 1 (de locontrario, se puede dividir toda la ecuación entre dicho coeficiente). Si a , b , y c son números reales, entonces el polinomio tiene tres raíces reales; o bien, una raíz real y dos complejasconjugadas. El procedimiento para encontrar dichas raíces consiste primero en evaluar: t1 = 3b − a 2 , 9 t2 = ab −3c a3 − , 6 27
3 t3 = t1 ,

y

2 t 4 = t2 + t 3

Si t 4 ≥ 0, entonces evaluar: t5 = t4, t6 = 3 t2 + t 5 , t 7 = 3 t2 − t 5 ,

y entonces el polinomio tiene una raíz real y dos raíces complejas conjugadas: x1 = t6 + t7 − a , 3 y 3  t +t a x2,3 = − 6 7 −  ± ( t6 − t7 ) i   3 2 2Pero si t 4 < 0, entonces evaluar: t5 = signo(t2 ) − t2 2 , t3 t6 = ArcCos(t5 ) , t 7 = 2 −t1 ,

y entonces el polinomio tiene tres raíces reales: t  a x1 = t7 Cos 6  − 3 3 y  π m t6  a x2,3= −t7 Cos − 3  3

Fórmulas de Ferrari. Sea la ecuación cuártica: x 4 + ax3 + bx 2 + cx + d = 0 , donde el coeficiente de x 4 es 1 (de lo contrario, se puede dividir toda la ecuación entre dichocoeficiente). Si a , b , c y d son números reales, entonces el polinomio cuártico se puede factorizar en dos polinomios cuadráticos, los cuales, resueltos separadamente, nos dan las cuatro raícesbuscadas. El procedimiento para encontrar dichas raíces consiste primero en encontrar una raíz real “ y ” de la ecuación cúbica resolvente: y 3 − by2 + (ac − 4d)y + (4bd − a2 d − c2 ) = 0 . Para loanterior se puede utilizar las fórmulas de Cardán previamente descritas. Posteriormente se procede a evaluar:  ay − 2c   4e f =  y2 −d   4 si e ≠ 0 si e = 0

a2 e= −b + y, 4

y

La factorizaciónde la ecuación cuártica queda entonces de la siguiente manera:  2 a  y y   2  a    x +  2 − e x +  2 − f   •  x +  2 + e x +  2 + f   = 0    

Nota: En una ecuación...