Geoestadistica

EP-03
Título: ESTIMACION POR KRIGING USANDO VARIOGRAMAS DINAMICOS.
Autor:. Arístides Alejandro Legrá Lobaina
Institución: Instituto Superior Minero Metalúrgico
E-mail: alegra@ismm.edu.cu
Temática: Estadística y Probabilidad
Resumen: En este trabajo es propuesto el uso de variogramas dinámicos con respecto a su alcance, meseta, efecto pepita y a su modelo lo cual permite obtener unacorrección local de la variabilidad del parámetro que se estudia. A partir de estos variogramas se obtiene una importante consecuencia: la varianza de estimación por kriging no solo dependerá de la geometría de los datos sino que también depende de los valores del parámetro en estos datos.

INTRODUCCIÓN
La estimación por kriging constituye uno de los principales elementos de la Geoestadística ydefinió una nueva era en las tareas de pronóstico en las ciencias geológicas, mineras y otras que han empleado los conceptos y procedimientos de esta rama aplicada de las Matemáticas.
Un elemento que ha ensombrecido el triunfo de la Geoestadística dentro de la práctica geológica – minera ha sido que el parámetro que se optimiza al aplicar el método, es decir, la Varianza de Estimación solo depende, através del variograma, de la posición geométrica de los datos, con respecto al punto o panel donde se estima el parámetro que se estudia o sea, esta varianza no está funcionalmente relacionada con los valores particulares en los puntos.
El objetivo de este trabajo es mostrar una solución a este problema mediante la introducción de los variogramas dinámicos.

DEFINICIÓN CLASICA DE LAESTIMACIÓN POR KRIGING.
Siguiendo una exposición tradicional [David, 1977], la estimación por kriging parte del conocimiento de los valores del parámetro W en un conjunto de n puntos Pi o sea se conocen los datos (Pi,Wi) con i=1,2,…,n. Se supone estudiada la variabilidad del comportamiento de W en el dominio D donde se investiga y esta variabilidad la tenemos expresada por el variograma (h) que es unafunción de la distancia euclidiana h definida entre puntos del dominio D. La expresión analítica de este variograma usualmente se obtiene mediante el ajuste de uno o varios modelos teóricos a un variograma experimental y debe cumplir cierta restricción basada en la necesidad de que la varianza de cualquier estimación debe ser no negativa.

La estimación por kriging del valor de W en un panel A sedefine como:

Donde debe anotarse que son considerados k puntos (kn) para realizar esta estimación.
Se quieren encontrar valores adecuados de ai (conocidos como pesos o ponderadores) tales que se cumplan dos condiciones:

1.
2. Se minimice la varianza de estimación:
.
Donde indica la variabilidad de cada punto Pi con respecto al panel A; es la variabilidad entre los puntos Pi y Pjy finalmente es la variabilidad total del panel A. O sea que la varianza de estimación depende de la relación de las muestras con el panel A, de la relación entre las muestras y de la variación de calidad dentro del panel a estimar [Clark, 1977, página 88].

Aplicando el método de los Multiplicadores de Lagrange [David, 1977] se ha demostrado que estos valores ai se determinan resolviendo elsistema de ecuaciones:

Donde se ha simplificado la notación tomando y tomando . El valor auxiliar  es el Multiplicador de Lagrange.
La varianza de estimación ahora queda determinada por la expresión:

Manteniendo el mismo variograma para todo el dominio D y asumiendo constantes el tamaño y la forma del panel A, se tiene que para un conjunto dado de k puntos, la varianza de estimación solodepende de la posición geométrica de los puntos Pi ya que son las distancias entre cada dato usado y el panel los que determinan los valores de cada término y de cada peso ai. O sea no depende de los valores particulares W(Pi), i=1,2,…,k.

De esta formulación puede derivarse el caso de la estimación puntual considerando idealmente el panel A con las dimensiones de un punto Pe. La expresión...