Geografia

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Ecuación diferencial lineal
Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma general y comprensible de escribir la ecuación es de la siguiente forma:

O usando otra notación frecuente:

Vemos que lo que define que una ecuación diferencial sea lineal es que no aparecen productos de la función incógnita consigo misma ni ninguna de sus derivadas. Siusamos la notación para denotar el operador diferencial lineal de la ecuación anterior, entonces la ecuación anterior puede escribirse como:

Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.
Ecuación lineal de primer orden
Las Ecuacionesdiferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:

Donde y son funciones continuas en un intervalo . La solución de esta ecuación viene dada por:

Resolución detallada
en la derivada de un producto.
Para ello necesitamos que . En efecto, si despejamos p(x) e integramos ambos miembros tenemos dentro de la integral y por resolución de integrales sabemos que es el logaritmo dew(x). Despejar el logaritmo es convertir en exponencial ambos miembros, y así obtenemos

.
Ahora si multiplicamos la ecuación diferencial por obtenemos:

Lo que equivale a escribir:

Con .
Finalmente, todas las soluciones de la ecuación diferencial pueden ser calculadas usando la expresión:

Ecuaciones lineales de orden n
Del mismo modo que se ha definido la ecuación diferencial linealde primer orden como podemos definir una ecuación diferencial de orden n como:

Donde la derivada mayor que aparece es de orden n-ésimo.
Resolución caso general
Esta ecuación se dice que es lineal si la función incógnita o sus derivadas no están multiplicadas por si mismas o si tampoco aparecen en forma de funciones compuestas (por ejemplo, sin(y). Una ecuación diferencial lineal de ordensuperior puede atacarse convirtiéndola en un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden. Para hacer esto se definen las n funciones incógnita adicionales dadas por:

Puesto que:

El sistema de ecuaciones diferenciales puede escribirse en forma de ecuación matricial como:

Resolución con coeficientes constantes
La resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales sesimplifica mucho si las ecuaciones son de coeficientes constantes. En el caso de una ecuación de primer orden la búsqueda de un factor integrante nos lleva en la mayoría de los casos a una ecuación en derivadas parciales. Si la ecuación es de orden superior, a no ser que sea una ecuación de Euler o similar, tendremos que proponer una solución que no viene dada, en general, por funcioneselementales. En estos casos los métodos preferidos (sin contar el cálculo numérico) son los que emplean series de potencias o series de Fourier. En el caso de los sistemas, si la matriz del sistema es de coeficientes constantes podemos resolver el sistema usando el método de los valores propios ya que en ese caso la matriz resultante de la reducción de la ecuación a un sistema de primer orden es constante ypuede encontrarse fácilmente su solución calculando la exponencial de la matriz del sistema.
Para estudiar otros métodos de encontrar la solución a parte de la exponenciación de matrices consideraremos una ecuación del tipo:

Donde son coeficientes constantes conocidos. Observemos que la derivada n-ésima va acompañada por el coeficiente unidad. Definimos el polinomio característico de laecuación como

Que es una ecuación algebraica de orden n. Se demuestra que si hallamos las n raíces del polinomio característico la solución de la ecuación homogénea:

Al calcular las raíces del polinomio característico pueden darse los siguientes casos:
* Raíces reales distintas: En este caso la solución viene dada directamente por, donde, siendo Ck constantes de integración.
* Raíces...
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