Geometría analítica

CÁLCULO I FMM033
Clase 3: Geometría analítica I

Prof. Gabriel Aguilera C.
Universidad Andrés Bello
Campus Concepción

Primer Semestre 2014

Preliminares
La Geometría analítica estudia las propiedades geométricas de las curvas y figuras
planas usando como referencia un sistema de coordenadas rectangulares
Y
y
P (x, y)

•

x

X

En la figura, el punto P tiene coordenadascartesianas (x, y). Al valor x se le llama
abscisa del punto, mientras que a y se le llama ordenada del punto (también se
suelen llamar coordenada x e y, respectivamente, por estar situadas sobre los ejes
coordenados X e Y ).
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Distancia entre dos puntos del plano
Definición
Dados dos puntos del plano, su distancia está dada por lalongitud del segmento que
los une.
En la figura, la longitud del segmento AB nos dará
la distancia d(A, B) entre los puntos A(x1 , y1 ) y
B(x2 , y2 ). Por el Teorema de Pitágoras, se tiene:
(AB)2 = (AC)2 + (BC)2
⇒ [d(A, B)]2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
y al tomar raíces cuadradas, se obtiene el siguiente

Teorema (Distancia entre dos puntos)
La distancia entre los puntos A(x1 , y1 ) y B(x2 ,y2 ) está dada por
d(A, B) =
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(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
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Distancia entre dos puntos del plano

Ejemplos
1. Calcular la distancia entre los puntos A(4, 6) y B(−2, −2).
2. Calcular la distancia entre los puntos A(7, 0) y B(0, 4).
3. Dado el cuadrilátero de vértices A(6, 1), B(3, 5), C(−1, −2) y D(2, −4), calcular su perímetro.Prof. Gabriel Aguilera C., UNAB

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La recta en el plano cartesiano
De la geometría euclidiana, se sabe que una recta es un concepto primitivo, es
decir, no admite definición. También se sabe que por dos puntos dados, pasa una
única recta que los une.
Caracterizaremos las rectas en el plano cartesiano mediante dos conceptos: la
pendiente y sus ecuaciones.

DefiniciónDada una recta L en el plano que contiene a
los puntos A(x1 , y1 ) y B(x2 , y2 ), se define la
pendiente de L, como el valor m dado por:
m=

y2 − y1
x2 − x1

También se tiene que m = tan α, donde α es el
ángulo que la recta forma con el eje X en sentido
antihorario, el que se conoce como ángulo de
inclinación.
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La recta enel plano cartesiano

Ejemplo
Calcular la pendiente de la recta que une los puntos:
1. A(4, 3), B(5, 5)
2. A(−3, −2), B(−5, 4)
3. A(−2, 2), B(3, 2)
4. A(3, 1), B(3, 4)

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Ecuaciones de una recta
En general, una recta se describe en el plano cartesiano mediante una ecuación de dos
variables. Dependiendo de la forma en que estéexpresada la ecuación, esta recibe ciertos
nombres.

Ecuación punto-pendiente
Si conocemos dos puntos de una recta, podemos obtener su pendiente. Si conocemos la
pendiente m y un punto P (x1 , y1 ) de ella, la ecuación de dicha recta se puede expresar
en la forma
y − y1 = m(x − x1 )
llamada ecuación punto-pendiente.

Ejemplo
Hallar la ecuación punto-pendiente de la recta que
1. Pasa por(5, 8) y tiene pendiente m = 6.
2. Pasa por (2, 5) y (6, 4).

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Ecuaciones de una recta
Ecuación principal
La ecuación anterior puede expresarse en la forma
y = mx + n
llamada ecuación principal. La ecuación principal
muestra de inmediato el valor de la pendiente
(m) y la ordenada n de la intersección de la
recta con el eje Y(la recta pasa por (0, n)).
Dicho valor n se llama coeficiente de posición
de la recta.

Ejemplo
1. Dada la ecuación y =
coeficiente de posición?

1
3
x+
¿Cuál es el valor de su pendiente? ¿Y del
2
4

2. Hallar la ecuación principal de las rectas obtenidas en la página anterior.
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Ecuaciones de una recta
Ecuación de...