Geometria Analitica Conicas
1º Bachillerato
Proyecto
MaTEX
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
Las C´nicas
o
CIENCIAS
MaTEX
´
Conicas
Fco Javier Gonz´lez Ortiz
a
Directorio
Tabla de Contenido
Inicio Art´
ıculo
c 2004 javier.gonzalez@unican.es
D.L.:SA-1415-2004
Doc Doc
ISBN: 84-688-8267-4
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MATEMATICAS
1º Bachillerato
1. Introducci´n
o
2. La circunferencia2.1. Recta tangente a una circunferencia
2.2. Potencia de un punto
3. La elipse
3.1. Ecuaci´n reducida de la elipse
o
• Excentricidad • Cambio de centro • Ecuaci´n de la tangente
o
• Las leyes de Kepler
4. La hip´rbola
e
4.1. Ecuaci´n reducida de la hip´rbola
o
e
• Excentricidad • Cambio de centro • Ecuaci´n de la tangente
o
5. La Par´bola
a
5.1. Ecuaci´n reducida de la par´bolao
a
6. Expresi´n general de las c´nicas
o
o
Soluciones a los Ejercicios
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
´
Conicas
Tabla de Contenido
Doc Doc
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Secci´n 1: Introducci´n
o
o
3
r=A+lu
1. Introducci´n
o
elipses
A
“Las C´nicas ” de Apolonio de
o
P´rgamo (262-190 a. C), constaban
e
de ocho libros. Esta obra es el resultado deestudiar las secciones de
un cono a las que denomin´ c´nicas.
oo
Apolonio descubri´ que se obten´
o
ıan
al cortar mediante una superficie
plana un cono circular en diversas
posiciones.
Depende de c´mo se corten, las
o
secciones resultantes ser´n c´
a
ırculos, elipses, hip´rbolas o par´bolas.
e
a
Aunque estos conceptos no tuvieron
posibilidad de ser aplicados a la
ciencia de su ´poca,su importancia
e
ha quedado plenamente justificada
con el paso del tiempo.
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
hip´rbolas
e
´
Conicas
circunferencia
MATEMATICAS
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par´bolas
a
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Secci´n 1: Introducci´n
o
o
4
Hay varias formas de estudiar las c´nicas:
o
a ) Se pueden estudiar como hicieron los
griegos, como has visto en lasfiguras
anteriores, en t´rminos de intersecciones
e
del cono con planos.
b ) Se pueden estudiar como casos particulares de ecuaciones de segundo grado con
dos variables x e y
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r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
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c ) Sin embargo en este nivel, como continuaci´n del cap´
o
ıtulo de m´trica en el
e
plano, es m´s adecuado estudiarlas coa
mo lugaresgeom´tricos de puntos que
e
cumplen cierta propiedad geom´trica
e
´
Conicas
A x2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0
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Secci´n 2: La circunferencia
o
5
r=A+lu
2. La circunferencia
A
Definici´n 2.1 Una circunferencia es el lugar geom´trico de los P (x, y ) que
o
e
equidistan de un punto fijo C llamado (centro)
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Sea P (x, y ) un puntocualquiera
verificando d(P, C ) = r, siendo r
el radio y C (x0 , y0 ) el centro. De
la f´rmula de la distancia de dos
o
puntos se tiene
+ (y − y0
P
C
=r
y elevando al cuadrado se obtiene
la ecuaci´n de la circunferencia
o
O
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2
(1)
´
Conicas
(x − x0
)2
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
d(P, C ) = cte = radio
)2
MATEMATICAS
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Cuando la circunferencia tiene el centro en el origen se tiene la ecuaci´n
o
reducida
x2 + y 2 = r 2
(2)
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Secci´n 2: La circunferencia
o
6
Ejemplo 2.1. Halla el centro y el radio de la circunferencia
x2 + y 2 − 4 x − 6 y = 12
Soluci´n :
o
Para conseguir la ecuaci´n reducida del tipo (1) se agrupan cuadrados de la
o
siguiente forma
x2 − 4 x =x2 − 2 · 2 x + 4 − 4 = (x − 2)2 − 4
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s=B+mv
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(x − 2)2 − 4 + (y − 3)2 − 9 = 12 =⇒ (x − 2)2 + (y − 3)2 = 25
luego el centro es C (2, 3) y el radio r = 5
Ejercicio 1. Halla el centro y el radio de las circunferencias:
a ) x2 + y 2 − 4 x + 10 y + 25 = 0
´
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y 2 − 6 y = y 2 − 2 · 3 y + 9 − 9 = (y − 3)2 − 9...
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