geometria analitica, la recta

INTRO. GEOMETRÍA ANALÍTICA

Este tema constituye una introducción a la geometría analítica del plano. Se definirán las coordenadas de un punto del plano respecto a un sistema de referencia cualquiera, como generalización de lo ya visto sobre coordenadas cartesianas.

Se estudiará la ecuación de una recta cualquiera y se analizarán las posiciones de rectas en virtud de su ecuación. Seterminará haciendo un estudio sobre medidas de ángulos, distancias y áreas de figuras elementales.



Los primeros métodos de la geometría analítica se deben a Menaecmo (aprox. 350 a.C.), quien llega a plantearse problemas de intersección de superficies, aplicando técnicas que, si bien no incluyen todavía las coordenadas, las llevan ocultas en su tratamiento conceptual.


Algo parecidoocurre con Apolonio de Perga (250 a.C.-190 a.C. aprox.), el cual demostró diversos resultados relacionados con rectas y circunferencias empleando técnicas similares a las de Menaecmo.


El matemático parisino Nicole Oresme (1321-1382), obispo de Lisieux, hizo algunos trabajos haciendo uso de la longitud y la latitud, equivalentes a las actuales abscisa y ordenada.


Name=1;HotwordStyle=BookDefault; La geometría analítica propiamente dicha comienza con los matemáticos René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665), quienes en sus trabajos llegan a considerar sistemas de coordenadas, aunque sólo admitían coordenadas positivas. El principal logro de la misma es la transformación mutua entre enunciados de tipo geométrico y enunciados de tipo algebraico.


Fermat, en suIntroduction to Loci , estudia ya algunas ecuaciones de primero y segundo grado, con lo que consigue clasificar las rectas y algunas de las cónicas, siempre con la limitación que le imponía el no admitir coordenadas negativas.


A principios del siglo XIX, con la construcción de la geometría proyectiva, se dio un fuerte avance a la geometría analítica.

SISTEMAS DE REF. COORDENADAS

Un sistemade referencia en el plano es un par formado por un punto, llamado origen, y una base de vectores, R = {O, 1, 2}.

Si la base es ortonormal, el sistema de referencia se dice ortonormal .

Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Dado un sistema de referencia R = {O, 1, 2} y un punto P del plano, las coordenadas de P respecto a R son las coordenadas del vector respecto a la base {1, 2}

Si = x11+ y2, las coordenadas de P son x e y y se escribe P = ( x, y ) ó P( x, y ).


Vector que une dos puntos
Dados los puntos P(x0, y0) y Q(x1, y1), el vector que los une viene dado por la expresión = ( x1 -x0 )1 + ( y1 -y0 )2.


Demostración:

Name=2; HotwordStyle=BookDefault;
Por definición de coordenadas se tiene que

= x0 1 + y0 2
= x1 1 + y1 2

Como + = , despejando:

=- = ( x1 1 + y1 2 ) - ( x0 1 + y0 2 ) =
= ( x1 -x0 )1 + ( y1 -y0 )2



Ejercicios de aplicación

 Dado el sistema de referencia R = {O, 1, 2}, hallar las coordenadas de O
respecto de R.

Resolución:
= = 0·1 + 0·2

El punto es O(0,0).

 Sean lospuntos P(3, -2) y Q(4, 1). Hallar las coordenadas del vector .

Resolución:
= (4 - 3) 1 + [1 - (-2)]2 = 1·1 + 32 .

Las coordenadas son 1 y 3, (1, 3).

 Hallar las coordenadas de un punto P tal que, al unirlo con Q(4, 8), resulta el vector = -21 + 62.

Resolución:

Sean (x,y) las coordenadas de P.

= ( 4 - x ) 1 + ( 8 - y )2 = -21 + 62

Sistema de referencia estándar del plano

Name=3; HotwordStyle=BookDefault; El sistema de referencia del plano más utilizado es {O, 1, 2}, donde:

 O es el origen de coordenadas, después de fijar los ejes de abscisas y ordenadas.

 1 es el vector que tiene por origen el punto (0,0) y por extremo...