Geometria Analitica

UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS DE HIDALGO
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

CURSO PROPEDÉUTICO 2007

NOTAS DEL CURSO DE

TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA
ANALÍTICA

MATERIAL ELABORADO POR

M.I. HUGO LUIS CHÁVEZ GARCÍA
M.I. CARLOS ALBERTO JÚNEZ FERREIRA
M. I. ENRIQUE OMAR NAVARRO CABALLERO

2007

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TRIGONOMETRÍA
La trigonometría es la rama de lasmatemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los
ángulos de triángulos y de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la
geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia
inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o unadistancia que no podía ser medida
de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química
y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos,
como el sonido.
En el campo de la ingeniería civil, la trigonometría es de fundamental importancia en
áreas como, por citar un ejemplo, la Topografía (representación ydescripción de la superficie de
un terreno).

1. ÁNGULOS
El concepto trigonométrico de ángulo es fundamental en el estudio de la trigonometría. Un
ángulo trigonométrico se genera con un radio que gira. Los radios OA y OB, mostrados en la
Figura 1, se consideran inicialmente coincidentes con OA. El radio OB gira hasta su posición
final. El ángulo α es entones la abertura que existe entrelos dos radios.

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B
α
O

A

Figura 1. Representación de un ángulo.

Un ángulo y su magnitud son positivos si se generan con un radio que gira en el sentido contrario
a las agujas del reloj, y negativo si la rotación es en el sentido de las agujas del reloj.
En la medida de ángulos, se emplean varios tipos de unidades, si bien la más utilizada en la vida
cotidiana es el Gradosexagesimal (Una circunferencia se divide en 360°), en matemáticas es el
Radián (en una circunferencia completa hay 2π radianes) la más utilizada, y se define como la
unidad natural para medir ángulos.
1.1 Grados sexagesimales
Como se ha mencionado, las unidades de medida de ángulos más
Sexagesimales (Se expresa como DEG en las calculadoras) y se
Grados (°), Minutos (‘) y Segundos (‘’), porejemplo, 20°15’35’’.
basado en la división en partes iguales de una circunferencia. En
llamaremos solamente grados a los grados sexagesimales.

conocidas son los Grados
representan por medio de
Este tipo de medidas está
adelante, por simplicidad,

Las equivalencias más utilizadas son las siguientes:
360° = un giro completo alrededor de una circunferencia
180° = 1/2 vuelta alrededor de unacircunferencia
90° = 1/4 de vuelta
1° = 1/360 de vuelta, etc.
1.2 Radianes
Existe otra medida para los ángulos llamada Radián y es la unidad de ángulo plano en el Sistema
Internacional de Unidades (SI) y se expresa como RAD.
El Radian se define como la unidad de ángulo plano igual al ángulo central formado por un arco
de longitud igual al radio del círculo (Figura 2).

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B
r
1Radian

O

A

r

Figura 2. Representación de un radián.

La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de
circunferencia que subtiende, dividido por el valor del radio. El valor de este ángulo es
independiente del valor del radio; por ejemplo, al dividir una pizza en 10 partes iguales, el ángulo
de cada pedazo permanece igual, independiente si la pizza eschica, normal o familiar. De esta
forma, se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia; sólo basta
multiplicar el radio por el ángulo en radianes (Figura 3).
S=rθ

(1.1)

Longitud de arco de circunferencia = [Radio de la circunferencia]x[Ángulo en radianes]

s
θ Rad

r

Figura 3. Longitud de arco.

También, se puede determinar el área de un sector circular...