geometria analitica



























GUÍA Nº 6


GEOMETRÍA ANALITICA
























CIENCIAS BÁSICAS
INACAP Renca



TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

I. Traslación.

El desplazamiento o traslación de una figura en una determinada dirección, se puede definir como:
Avanzar hacia arriba o al norte.
Avanzar hacia abajo o al sur
Avanzarhacia la derecha o al oeste.
Avanzar hacia la izquierda o hacia el oeste.

Traslación de un Punto

Es decir:


Ejemplos:

1) Traslade el punto A (4,-3) hasta el punto P donde:
a) P(3,5)
b) P(-4,7)
c) P(-2,-6)
d) P(-3,-2)
e) P(0,4)
Solución (a):

Traslación de una Figura

1) Considerar un triángulo ABC de coordenadas A (4,-3), B (10,1) y C (5,7).
Trasladar sus vértices 5 unidadeshacia la izquierda y 4 unidades hacia arriba.
Solución:




2) Considerar un cuadrilátero ABCD de coordenadas A (0,2), B (2,-3) y C (5,1) y D(2,4)
Trasladar sus vértices 4unidades hacia la izquierda y 6 unidades hacia abajo.

Traslación Inversa:

Toda traslación , por se una aplicación biyectiva, tiene su correspondiente traslación inversa que se designa por

Luego:

Ejemplo:Traslación de coordenadas.

Si se escogen nuevos ejes en el plano, cada punto tendrá dos conjuntos de coordenadas; el antiguo, (x, y), relativo a los ejes y el nuevo (x`,y`) , relativo a los ejes actuales. Se dice que las coordina das originales han sufrido una transformación .Si los nuevos ejes son paralelos a los originales y tienen la misma dirección, la transformación se llama“traslación de ejes”
















Ejemplo: Hallar la ecuación de la curva cuando se traslada el origen de coordenadas al punto (2,1)


Ecuación de la elipse con centro en el nuevo origen, con el eje mayor sobre el eje x`y de semi ejes

Ejercicios:
1. Transformar el punto A=(-4,8) por medio de la traslación . Graficar.
2. Encontrar la traslación asociada al par de puntos ,considerando que el primero es el punto original y el segundo su traslado
3. Identificar la traslación inversa de
4. Determinar la figura trasladada ABC con A= (3,2), B=(-6,7) y C(5,-5) por.
5. Hallar la ecuación de la curva . Cuando se traslada el origen de coordenadas al punto (5,-1).


Respuestas:

1.-
2.-
3.-
4.-
5.-


II. Rotación.

Una rotación es una transformación determinadapor un punto llamado Centro de rotación y un ángulo orientado llamado ángulo de rotación.

Rotación de una figura en el plano cartesiano de ángulos notables:


Punto Rotado
Punto original










Ejemplo sea triángulo ABC con ,, , ,


Punto Rotado
Punto original




















Rotación de ejes.

Considerar una transformación de coordenadas dondelos nuevos ejes tengan el mismo origen, pero direcciones diferentes de los ejes originales. Puesto que los nuevos ejes se pueden obtener girando los ejes originales en un ángulo alrededor del origen, esta transformación se llama Rotación de ejes. Sus fórmulas son:




Ejemplos:

Deducir la ecuación de la parábola cuando se giran los ejes en un ángulo de 45º.



Sustituyendo en laecuación original







GEOMETRÍA ANALÍTICA
Elementos del plano

Cuadrantes: son cuatro y se obtienen de la intersección de dos ejes ortogonales designados por X e Y. Corresponde al eje X (abcisas) y al eje Y las (ordenadas), con los que se genera el lugar donde se ubican los puntos.

Punto: es un par ordenado de números reales que constituyen sus coordenadas respecto de un sistema deejes cartesianos, de modo que


Distancia

Entre dos puntos: Se encuentra algebraicamente aplicando el Teorema Particular de Pitágoras y se expresa en la unidad de medida (u) que se haya utilizado para construir el sistema cartesiano.

De un punto a una recta:
, donde y es el punto.

Punto Medio

El Punto Medio entre dos puntos y , es aquel que está ubicado en el segmento , a la...