geometria analitica

GEOMETRIA ANALITICA

1

SISTEMA COORDENADO CARTESIANO

1.- El sistema coordenado Unidimensional:
Representado por la recta numérica, que se determina por P 1(x1) y
P2(x2) se tiene :
P1

P2

( x1 )
)

( x2

P1P2

es :

P1P2  x 2  x 1

La distancia dirigida de P1 a P2 es : P2 - P1 = x2 - x1 La distancia no dirigida
es :
Ejemplo:
P1
Q1
R1 S1
O
Q
R
P2
x

-4
-3Distancia dirigida

-2

-1

0

P1P2  x2  x1  3  (4)  3  4  7
Distancia no dirigida

P1P2  x2  x1  3  (4)  7

1

2

3

x

P2Q  x2  x1  1 3  2

P2Q  x2  x1  1 3  2

2

SISTEMA COORDENADO CARTESIANO
2.- El sistema coordenado Bidimensional:
Un punto en el plano se determina mediante el par:

El sistema de coordenadas en el plano
consiste enun par de rectas orientadas
perpendiculares, llamadas ejes
coordenadas.

Y

II (- , +)

P (x,y)

I (+ , +)
P (x,y)

Recta horizontal : eje x (abscisa)
0

III (- -)

X

IV (+ , -)

Recta vertical: eje y (ordenada)
La intersección de ambas rectas es el
origen.
Las cuatro partes en que el plano queda
dividido por los ejes coordenadas se llaman
cuadrantes.

Las coordenadasdel punto P se representan por el par ordenado (x,y)
3

DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL
PLANO
Sean los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)
Y

La distancia entre P1 y P2
Se determina por:

(O,y2)

d(P , P2 )  (x2  x1)2  (y2  y1)2
1
Esta expresión se obtiene

P2 (X2 ,Y2)

T

(x1 , y1)
S

P1

Q (x2 ,y1)

(O,y1)

observando la figura en cuyo
triángulo rectángulo P1QP2, se tiene:
2
2
2

P1P2  P1Q  QP2 . . . ( 1 )

donde:

M (x1 ,0)

X
N (X2 , 0)

P1Q  MN  X 2  X 1
QP2  ST  Y2  Y1

sustituyendo en ( 1 ), se tiene finalmente.

| P P2 | (x2  x1)2  (y2  y1)2
1

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DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL
PLANO
Ejemplo 1: Si P1 = (8 , 6) y P2 = ( 5 , 2) Hallar d(P1 , P2) =

P1P2

d(P1, P2 )  (x 2  x1 ) 2  (y2  y1 ) 2

d(P , P2)  (8  5)2  (6  2)2  32  42  25  5
1
Ejemplo 2: Demostrar que los puntos A(-2 ,-1) , B(2, 2 ) y C(5 , -2) son los
vértices de un triángulo isósceles.

AB 

2  22  2  12 

BC 

5  22   2  22 

AC 
Como

5  2   2  1
2

AB  BC

2

y

16  9  5

B (2, 2 )

9  16  5

 49  1  5 2

x
A (-2 ,-1)

C (5 , -2)
5

el triánguloABC es isósceles.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN
CONOCIDA
P2

(x2, y2)

P(x,y)

P1 (x , y )
1
1
Sea el segmento

P1P2

y el punto

PP
P1P2 en la razón
r 1

P( x, y ) que divide a

entonces, las coordenadas

PP2

de P Serán: x 

y

x1  rx 2
, r  1
1 r
y1  ry2
, r  -1
1 r

Si P es la punto medio entonces :

x x
x 1 2
2

;

Y

y1 y 2
2
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DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN
CONOCIDA
y

P2 (x2, y2)
P (x,y)
P1 (x1,y1)

R
Q

en la figura P1QP  PRP2 entonces :

QP PP
 1 r
RP PP
2
2

x

Para hallar la Ordenada y del punto P

PP
y - y1
1
r 
 r  y - y1  r(y2  y) y - y1  ry2  ry
y2  y
PP
2
y1  ry2
 y  ry  y1  ry2  y(r1)  y1  ry2  y 
, r  -1
r 1

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DIVISIÓNDE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN
CONOCIDA
y

P2 (x2, y2)
P (x,y)
P1 (x1,y1)

R
Q
x

en la figura P1QP  PRP2 entonces :

PQ P P
1
 1 r
PR PP
2

Para hallar la abscisa x del punto P

PP
1  r  x - x1  r  x - x  r(x  x)  x - x  rx  rx
1
2
1
2
PP
x2  x
2
 x  rx  x1  rx2  x(r1)  x1  rx2  x 

x1  rx2
, r  -1
r 1

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DIVISIÓN DE UN SEGMENTO ENUNA RAZÓN
CONOCIDA
y

P2 (x2, y2)
P (x,y)
P1 (x1,y1)

R
Q

en la figura P1QP  PRP2 entonces :

Observaciones

PQ P P
1
 1 r
PR PP
2

x

P1P2
Si r < 0 , el punto P(x , y) está en el exterior del segmento: P
P1 2

1. Si r > 0 , el punto P(x , y) está en el interior del segmento:
1.
2.

Si P(x,y) es el punto medio del segmento

PP
1
1
PP
2

P1P2...