Geometria Analitica

GEOMETRÍA ANALÍTICA

COORDENADAS POLARES
CONTENIDO
1.

Coordenadas polares de un punto

2.

Coordenadas polares geralizadas
2.1

3.

Relación entre coordenadas polares y rectangulares de un punto
Cambio de sistema de coordenadas cartesianas a polares y viceversa
3.1

Ejercicios

4.

Trazado de una curva dada su ecuación polar

5.

Ecuación de las curvas de segundo gradoen coordenadas polares

Este sistema consiste en señalar un
punto que es el origen de las coordenadas y a
partir de él se señala un segmento de recta
horizontal denominado línea inicial o eje polar,
en el cual se marca la escala que se desee,
para medir distancias. Una vez hecho esto, para
indicar la posición de un punto cualquiera del
plano, trazamos la recta desde el punto en
cuestiónhasta el origen del sistema y se mide
el ángulo por el eje polar y la recta. La medida
del ángulo y de la distancia del punto al
origen son las coordenadas polares del
punto.
Lo especificado lo representamos en la
figura adjunta.

1.

Coordenadas polares de un punto

Consideremos sobre un plano, un rayo
(0x) con origen en el punto 0. Llamaremos eje
polar al rayo; polo al punto 0, Eleje polar se
representara por 0x.
Sea M un punto arbitrario del plano, como
se observa en la figura adjunta. La longitud del
segmento 0M, se llamará longitud del radio
polar del punto M y se representará por r. El
ángulo que deba rotarse el eje polar, en el
11. COORDENADAS POLARES
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

11-1GEOMETRÍA ANALÍTICA

sentido opuesto a las manecillas del reloj, para hacerlo coincidir con el radio polar, 0M se llamará
ángulo polar del punto M y se representará por θ. Si el punto M coincide con el polo, r = 0 y el
ángulo θ no tendrá un valor determinado.
El par de números r y θ reciben el
nombre de coordenadas polares del
punto M. Lo denotamos como:
M ( r, θ )
El radio vector es positivo.EJEMPLO 1. Construir los puntos cuyas
coordenadas polares son:




A 4,

π 
 7π 


 ; B 3,-  y C 2,
4 
4 
2 



3π 

SOLUCIÓN
Por lo expuesto, los datos los
llevamos a la figura adjunta.
EJEMPLO 2. Determinar las coordenadas
polares de las vértices de
un hexágono regular A, B, C,
D, E, y F, tomando como
polo al punto 0, centro del
hexágono y como ejepolar
al rayo OC , según la figura.

SOLUCIÓN
Tomando O C = 1
C(1,0), D(1,π/3), E(1,2π/3), F(1,π), A(1,4π/3)
π
π
π
π
y B(1,5π/3)
π

2.

Coordenadas polares generalizadas

En la situación de ciertos problemas es conveniente considerar sobre una recta que pasa
por el polo, dos puntos M y N que se encuentran en diferentes semi-rectas con relación al punto 0.
Como se observa en lafigura siguiente:
En este caso se toma por ángulo polar de los puntos M y N el mismo ángulo, y r, para el
punto M, se considerara positivo y para el punto N será negativo.
Las coordenadas θ y r < 0 se llaman coordenadas polares generalizadas del punto N.

11. COORDENADAS POLARES
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

11-2

GEOMETRÍAANALÍTICA

las
3.
Determinar
coordenadas polares
de los puntos que se
indican en la figura
adjunta:

EJEMPLO

SOLUCIÓN
Como el radio vector r es
positivo cuando se mide sobre
el lado terminal del ángulo y
negativo cuando se mide sobre
la prolongación de este,
tendremos que:
De acuerdo a la figura, para los
puntos M, N, P y Q pueden
tomarse como coordenadas polares.


M 3,

2.1.

π 
π 
π 
π 




 y Q -2,
 , P 4,
 ; N - 4 ,
2 
4 
4 
4 




Relación entre coordenadas polares y rectangulares de un punto

Para transformar las coordenadas
de un punto de un sistema de
coordenadas rectangulares a un sistema
de coordenadas polares o viceversa,
hacemos coincidir los orígenes de los dos
sistemas y el eje polar con el...