geometria analitica

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO
PRODUCTO ESCALAR
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosx
(Cuando sepamos el ángulo que forman a y b).
a ⋅ b = a 1 ⋅ b1 + a 2 ⋅ b 2 + a 3 ⋅ b 3 (Cuando sepamos las coordenadas de a y b ).

Cuando los vectores son perpendiculares su producto escalar será 0 (Cero).
PRODUCTO VECTORIAL
r
r
Dados lo vectores u = (x,y,z) y v = (x',y',z')

i j k
r r
uxv = x y z
x' y' z'

r(El vector que resulta de este determinante es perpendicular a u y
coincide con el ÁREA DEL PARALELOGRAMO que forman u y v ).

r
v , y su módulo

COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE
Dados los puntos A(a,b,c ) y B (d,e,f ) el vector con origen en A y extremo en B se calcula
restando B - A AB = B - A
ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO. Para hallar la ecuación de una recta
es necesarioconocer UN PUNTO Y EL VECTOR DIRECTOR de la misma.
Una recta, [obtenida a partir de un PUNTO (x0 , y0,, z0) y un VECTOR (v1 , v2 , v3) ],
se puede expresar de las siguientes formas:
1.- ECUACIÓN VECTORIAL:

(x,y,z) = (x0 , y0,, z0) + t (v1 , v2 , v3)

2.- ECUACIONES PARAMÉTRICAS :

3.- ECUACIÓN CONTINUA:
4.-

x =

⇒ y =
z =


x0

+ t ⋅ v1

y0

+ t ⋅ v2

z0

+ t ⋅ v3x − x 0 y − y0 z − z 0
=
=
v1
v2
v3

EC. GENERAL DE LA RECTA
(Intersección de dos planos):

Ax+By+Cz+D=0
A’x + B’y + C’z + D = 0

1

NOTA: Para hallar el vector de una recta expresada como intersección de dos planos
basta con hacer el producto vectorial axb. siendo a=(A,B,C) y b=(A’,B’,C’).
Para hallar un punto sólo hay que darle a la x o a la y o a la z un valor arbitrario,sustituirlo en el sistema y despejar las otras dos incógnitas.
ECUACIONES DEL

PLANO

Para hallar la ecuación de un plano es necesario conocer
UN PUNTO Y DOS VECTORES DIRECTORES del mismo.
r
Un plano,r [Obtenido a partir de un PUNTO (x0, y0, z0) y DOS VECTORES V (v1, v2,
v3) y W (w1, w2, w3) ], se puede expresar de las siguientes formas:

1.- ECUACIÓN VECTORIAL:

( x,y,z) = (x0 , y0,,z0) + t (v1 , v2 , v3) + s(w1,w2,w3)

2.- ECUACIONES PARAMÉTRICAS

x =

⇒ y =
z =


x0

+ t ⋅ v1

+

s ⋅ w1

y0

+ t ⋅ v2

+ s ⋅ w2

z0

+ t ⋅ v3

+

s ⋅ w3

3.- ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA:

x - x 0 y - y0 z - z0

Ax + By + Cz + D = 0

NOTA: Para hallarla sólo hay que

v1
w1

v2
w2

v3
w3

=0

realizar este determinante e igualarlo a cero.4.- ECUACIÓN SEGMENTARIA:

x y z
+ + =1
a b c

r r r
Los valores a, b y c se denominan, respectivamente, abscisa, ordenada, y cota en el
origen.

5.- OTRA FORMA DE HALLAR LA ECUACIÓN DE UN PLANO:
Un plano también se puede hallar sabiendo UN PUNTO Y SÓLO UN VECTOR, siempre y
cuando ese vector sea perpendicular al plano (llamado vector normal), las coordenadas
de ese vector coincidencon los coeficientes (A,B,C) del plano; para hallar el término
independiente ( D ) del plano, sólo hay que sustituir las coordenadas del punto que nos
den y despejar D.

2

Ej/.
Vector normal ( 3, 4, 5)

π: Ax + By + Cz + D = O

3

POSICIONES RELATIVAS.

Posición relativa
DE

DOS PLANOS.

Caso 1
Caso 2
Caso 3

π: A x + B y + C z + D = 0
π‘: A’x + B’y + C’z + D’ = 0Rango de M
2
1
1

Rango de M*
2
2
1

Posición relativa
DE

paralelos

TRES PLANOS

Caso 1

Rango
de M

Rango
de M*

3

3

Caso 2

2

Caso 3

2

Caso 4
Caso 5

A
B
C
D
=
=
≠
A' B' C' D'
A B C 


M =  A' B' C' 


 A'' B'' C''

3

2

1

2

1

1

A B C D 
M* = 

 A' B' C' D'

Posición de DOS PLANOS
Planos secantesPlanos paralelos y distintos
Planos coincidentes

secantes

A B
C D
≠
≠
≠
A' B' C' D'

A B C 
M=

 A' B' C'

coincidentes

A B
C D
=
=
=
A' B' C' D'

A B C D  π : A x + B y + C z + D = 0


M* =  A' B' C' D'  π‘: A’ x + B’y + C’z + D’ = 0

 π‘’: A’’x + B’’y + C’’z + D’’ = 0
 A'' B'' C'' D''

Posición de TRES PLANOS
Planos secantes en un punto....