Geometria Analitica

1. GEOMETRIA ANALITICA

La geometría analítica es la rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes.
1.1Localización de un punto en el plano cartesiano

En un plano se traza dos rectas orientadas perpendiculares entre sí (ejes) , se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical, y cada punto del plano queda determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada unade las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x, y).

Cuadro 1.1:

1.2 Distancia
Se denomina distancia entre dos puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) del plano a la longitud del segmento de recta que tiene por extremos A y B. La distancia más corta es la recta que los une. Puedecalcularse así:

Cuadro 1.2:
Medida del espacio entre dos puntos
Fórmula de cálculo:
d = (x2-x1)2+ (y2-y1)2

Ejemplo 1.1:

* Hallar la distancia que existe entre los puntos A(-5,7) y B(4,3)

Cuadro 1.3:

d = (x2-x1)2+ (y2-y1)2
d AB =(4-(-5))2+ (3-7)2
d AB =(9)2+ (-4)2
d AB =81+ 16
d AB =97
d AB=9.85

EJERCICIOS PROPUESTOS

* Hallar la distancia entre los puntoscuyas coordenadas son:
1. A (2,5) y B (-4,-6)
2. A (4,1) y B (-5,8)
3. A (-4,6) y B (3,-7)
4. A (-5,6) y B (3,-4)

* Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos (1,-2), (4,-2), (4,2). Determinar las longitudes de los catetos y después calcular el area del triángulo y la longitud de la hipotenusa.
* En el triángulo rectángulo del ejercicio anterior, determinarprimero los puntos medios de los catetos y, después, el punto medio de la hipotenusa
* Hallar la distancia entre los puntos (6,0) y (0,-8)

1.3 PENDIENTE DE UNA RECTA
Es el grado de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x. también nos ayuda a determinar cómo está ubicada una recta en los ejes cartesianos.
Si una recta pasa por dos puntos distintos(x1, y1) y (x2, y2), entonces su pendiente (m) está dada por:
m = y2-y1x2-x1
Cuadro 1.4:


Ejemplo 1.2:

* Calcular el perímetro del triángulo y la pendiente de cada uno de sus lados.
A. (3,3)
B. (-3,-3)
C. (-33, 33)
Cuadro 1.5

d = (x2-x1)2+ (y2-y1)2
d AB =(-3-3)2+ (-3-3)2
d AB =(-6)2+ (-6)2
d AB = 36+36
d AB =72
d AB= 8.49

d =(x2-x1)2+ (y2-y1)2
d BC =(-5.20-(-3))2+ (5.20-(-3))2
d BC =(-2.20)2+ (8.20)2
d BC = 4.84+67.24
d BC =72.08
d BC= 8.49

d = (x2-x1)2+ (y2-y1)2
d AC =(-5.20-3)2+ (5.20-3)2
d AC =(-8.2)2+ (2.2)2
d AC = 67.24+4.84
d AC =72.08
d AC= 8.49

Calculo de la pendiente:
m = y2-y1x2-x1

MAB= -3-3-3-3 =-6-6 = 1

MBC=5.20-(-3)-5.20-(-3) = 8.2-2.2 = -3.73

MAC=5.20-3-5.20-3 =2.2-8.2 = -0.271.4 ANGULO ENTRE RECTAS

Cuadro 1.6

1.5 FORMULA DEL CÁLCULO DE LOS ANGULOS

tg ϑ= M2 – M1
1 + M2M1

* Referido al ejercicio anterior calcule los ángulos

Cuadro 1.7

tg ϑ= MAC – MAB = 1- (-0.27) = -1.73 ϑ= 60°
1 + MACMAB 1+ (1) (-0.27)

tg ϑ= MAB – MBC = -0.27+3.73 = 1.72 ϑ=
1+ MABMBC 1+ (-O.27) (-3.73)

tg ϑ=MBC – MAC = -3.73 – 1 = 1.73 ϑ =
1 + (-3.73) (1)

EJERCICIO

* Hallar los ángulos internos del cuadrilátero

A (3,7)
B (2,-4)
C (-5,-1)
D (-2,3)

Cuadro 1.8

* PENDIENTE

m = y2-y1x2-x1

MAB= -4-72-3 =-11-1 = 11

MBC=-1-(-4)-5-(2) = 3-7 = -0.43
MCD=3-(-1)-2-(-5) = 43 = 1.33

MAD=3-7-2-3 = -4-5 = 0.80

* CALCULO DE...