Geometria Analitica

Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıa Departamento de Matem´tica a Campus Santiago

Geometr´ Anal´ ıa ıtica 1. Determine el valor de la constante k para que la recta kx + (3 − k)y + 7 = 0 sea perpendicular a la recta x + 7y + 1 = 0 2. Detremine el valor de k para que la recta 2x + 3y + k = 0 forme con los ejes coordenados un tri´ngulo de area 27. a ´ 3. Los v´rtices de un tri´ngulo sonA(−1, 3), B(3, 5), C(7, −1). Si D es el punto e a medio del lado AB y E el punto medio del lado BC, demostrar que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC. 4. Hallar el lugar geom´trico de los puntos tales que la suma de las pendientes de e las rectas que los unen con los puntos A(0, 5) y B(0, −1) es igual a 2. 5. Calcular la distancia entre las rectas paralelas deecuaciones : x + 3y − 6 = 0 , x + 3y + 14 = 0. 6. El angulo formado por las rectas de ecuaciones dadas por x+y+1 = 0 y 7x+y−7 = ´ 0 tiene una bisectriz de pendiente negativa. Determine la ecuaci´n de ´sta. o e 7. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2, −1) y que forman un tri´ngulo is´sceles con las rectas de ecuaciones 2x − y + 5 = 0 , 3x + 6y − 1 = 0. a o 8. Determinar el lugargeom´trico de un punto que se mueve de modo que su dise tancia a la recta de ecuaci´n 4x − 3y + 12 = 0 es siempre igual a la mitad de su o distancia al eje Y. 9. Dada la ecuaci´n del haz de rectas : o (2x + y + 4) + λ(x − 2y − 3) = 0, demostrar que entre las rectas de este haz existe s´lo una que est´ a la distancia o a √ 10 del punto (2, −3) y escribir la ecuaci´n de la recta. o 10. Determinar lasecuaciones de los lados de un tri´ngulo, dados uno de sus v´rtices a e (2, −1) y las ecuaciones de la altura 7x−10y+1 = 0 y de la bisectriz 3x−2y+5 = 0, trazadas desde un segundo v´rtice. e

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11. Las ecuaciones de los lados de un tri´ngulo son: a y = ax − ca ab bc , y = bx − , y = cx − . 2 2 2

Demostrar que area del tri´ngulo es igual a : ´ a 1 (a − b)(b − c)(c − a) 8 12. Dado untri´ngulo ABC y la bisectriz AD, se traza por el punto D la paralela a a AB la cual corta a AC en E y por el punto E se traza la paralela a BC, la que intersecta a AB en F . Demustre que dist(A, E) = dist(B, F ) 13. Hallar la ecuaci´n de la circunferencia cuyo centro es el punto (−1, 2) y pasa por o el punto (2, 6). 14. Hallar la ecuaci´n de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 1), (1, −1) y o(2, 0) 15. Hallar la ecuaci´n de la circunferencia que teniendo su centro sobre la recta 2x + o y = 0 es tangente a las rectas de ecuaciones: 4x − 3y + 1 = 0 , 4x − 3y − 30 = 0. 16. Hallar la ecuaci´n de la circunferencia que pasa por el punto (0, 8), es tangente o a la recta de ecuaci´n 3x − 4y = 0 y tiene su centro en la recta de ecuaci´n o o 4x − 7y + 40. 17. Dado un tri´ngulo de v´rtices (−2,0), (10, 0) y (0, 4), encuentre la ecuaci´n de la a e o circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados del tri´ngulo. a 18. Hallar la ecuaci´n de la cuerda de la circunferencia de ecuaci´n: o o (x − 3)2 + (y − 7)2 = 169 , cuyo punto medio es 17 3 , . 2 2

19. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el punto (1, 6) a la circunferencia de ecuaci´n: o x2 + y 2 + 2x −19 = 0. 20. Demuestre que las rectas tangentes comunes a las circunferencias de ecuaciones : x2 + y 2 + 2x = 0 , x2 + y 2 − 6x = 0 forman un tri´ngulo equil´tero. a a 2

21. Demostrar que el lugar geom´trico de un punto que se mueve en el plano de modo e que la suma de los cuadrados de sus distancias a los cuatro lados de un cuadrado es constante, es una circunferencia con centro en el centrodel cuadrado. 22. Demostrar que el lugar geom´trico de los puntos medios de las cuerdas de una e circunferencia dada que pasan por un punto fijo, es la circunferencia que tiene por di´metro al trazo que une el centro de la circunferencia dada con el punto dado. a 23. Encuentre v´rtice, foco, directriz, eje focal, lado recto de las siguientes ecuaciones: e (a) 4y 2 − 48x − 20y − 71 = 0 (b) y 2 +...