Geometria Analitica

Geometr´ Anal´ ıa ıtica
Felipe Portales O. 26 de abril de 2009
Plano se considera un concepto abstracto, por lo que no se puede definir. Un Lugar Geom´trico es un conjunto e de puntos en el planocartesiano. La ecuaci´n de un lugar geom´trico se define como la condici´n o relaci´n algebr´ica que cumplen todos los o e o o a puntos que pertenecen a aquel lugar geom´trico. e Toda secci´n c´nicapuede definirse con la siguiente ecuaci´n: o o o Ax2 + By 2 + Cx + Dy + E A, B, C, D, E Con las siguientes particularidades: Circunferencia: Elipse: Hip´rbola: e Par´bola: a A = B. A=B ∧ A·B >0 A=B ∧ A·B0 y si denotamos a la circunferencia como Q, ´sta queda definida como: e Q = {P (x, y) ∈ R2 : (x − h)2 + (y − k)2 = r2 } 3 (8)

4.1.

Circunferencias Degeneradas

Si una ecuaci´n de la forma:Ax2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0, A = B al completar cuadrados para dejarla en la o forma (x − h)2 + (y − k)2 = r2 , queda un r2 < 0, se dice que la circunferencia es DEGENERADA, y representa el conjuntovac´ (∅). ıo En el caso de que quede r2 = 0, se dice tambi´n que es una circunferencia degenerada, pero se reduce a un punto. e

5.

Las Elipses

Sean F1 y F2 dos puntos del plano y sea a > 0 y 2a> d(F1 , F2 ), se define la elipse como el lugar geom´trico e que agrupa a los puntos del plano, cuya distancia hacia el punto F1 sumada a la distancia al punto F2 es constante y equivalente a 2a. Elcentro C(h, k) est´ definido como el punto medio del segmento que une a los focos F1 y a F2 y la distancia entre el centro y cualquiera de los focos es c. Estudiamos solo las Elipses con Ejes paralelosa los ejes coordenados.

5.1.

Elipses con el Eje Mayor Paralelo al Eje de las Abscisas

Este lugar geom´trico, que cumple con las condiciones previamente dadas, y que denominamos E, est´definido e a como: (y − k)2 (x − h)2 + = 1 , b2 = a2 − c2 (9) E = P (x, y) ∈ R2 : a2 b2

5.2.

Elipses con el Eje Mayor Paralelo al Eje de las Ordenadas
(x − h)2 (y − k)2 + = 1 , b2 = a2 − c2 b2 a2...