Geometria Circular Ejercicios

GEOMETRIA ANALITICA

Cap´ ıtulo 9

La Circunferencia
9.1. Definici´n o

Se llama circunferencia al lugar geom´trico de los puntos de un plano que equidise tan de un punto fijo del mismo plano. Dicho punto fijo se llama centro, a la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se acostumbra a llamar radio. Ecuaci´n o Sea C(a, b) las coordenadas del centro, r el radio r > 0 y P(x, y) un punto cualquiera de la circunferencia. Condici´n del L.G. de P (x, y) o CP = r (x − a)2 + (y − b)2 = r

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

(1)

A esta ecuaci´n (1) se suele llamar ecuaci´n can´nica o standard de una circuno o o ferencia de centro C(a, b) y radio r.

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Luis Zegarra.

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Notemos que de (1) desarrollando los cuadrados obtenemos x2 + y 2 − 2ax − 2by+ a2 + b2 − r2 = 0 (2)

una ecuaci´n de 2o grado en que los coeficientes de x2 e y 2 son iguales y adem´s o a iguales a 1, carece del t´rmino en xy. Por tanto la ecuaci´n en particular e o x2 + 3xy + y 2 − 6x + 2y − 6 = 0 no representa a una circunferencia. Vamos estudiar en el p´rrafo siguiente en forma mas general una ecuaci´n tal a o como (2).

9.2.

Forma general centro y radio
Ax2 +Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

Dada la ecuaci´n general de 2o grado, por: o (3)

A, B, C, D, Ey F par´metros reales a De la observaci´n anterior B = 0, A = C = 0, as´ o ı Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0 x2 + y 2 + completando cuadrados obtenemos: x+ D 2A
2

D E F x+ y+ =0 A A A

+ y+

E 2A

2

=

D2 + E 2 − 4AF 4A2

(4)

De la definici´n de circunferencia real (9.1-) se deduce que elcentro tiene las o coordenadas C − D E ,− 2A 2A y al radio r2 = D2 + E 2 − 4AF 4A2

esta ultima expresi´n para el radio nos impone que para (3) represente a una ´ o circunferencia real D2 + E 2 − 4AF > 0.

Luis Zegarra.

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9.3.

Casos Notables

Un caso de gran importancia es el caso de una circunferencia con centro en el origen y radio r. De (1) se obtiene haciendoa = b = 0 x2 + y 2 = r2 Notemos tambi´n que en general una circunferencia tal como e (x − a)2 + (y − b)2 = r2 necesita ex´ctamente de tres condiciones independientes para ser determinada. a Por comodidad en algunos casos conviene ocupar la ecuaci´n o x2 + y 2 + M x + N y + P = 0 (6) (5)

como representante de una circunferencia, note que se debe cumplir que M 2 + N 2 − 4P > 0 (condici´n delradio). o En este caso el centro esta dado por M N C − ,− 2 2 √ M 2 + N 2 − 4P y en radio por r = 2

9.4.

Familias

Las circunferencias que son tangentes a los ejes coordenados, notemos por ejemplo que forman una familia, es decir la tangencia implica que a = b o a = −b, en el primer caso el centro se encuentra sobre la bisectriz del I y II cuadrantes y = x, as´ su ecuaci´n estar´ dada por ı oa (x ± λ)2 + (y ± λ)2 = λ2 , a = b = r = ±λ = 0 λ par´metro real, para el 2o caso el centro pertenece a y = −x, as´ su ecuaci´n a ı o ser´: a (x ± λ)2 + (y λ)2 = λ2 Otro caso importante, es el de la familia de circunferencias que pasan por los puntos de intersecci´n de dos circunferencias dadas. o Dadas las circunferencias C1 y C2

Luis Zegarra.

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C1 : x2 + y 2 + M1 x +N1 y + P1 = 0, C2 : x2 + y 2 + M2 x + N2 y + P2 = 0,

M1 + N1 − 4P1 > 0 M2 + N2 − 4P2 > 0

estamos en el supuesto que C1 ∩ C2 = {P1 , P2 } ⇐⇒ > 0 ” ” es el discriminante de ecuaci´n de 2o grado que se forma al efectuar la intersecci´n de C1 y C2 , o o as´ la ecuaci´n de la familia de circunferencias que pasan por P1 y P2 est´ dada ı o a por x2 + y 2 + M1 x + N1 y + P1 + λ(x2 + y 2 + M2 x + N2 y+ P2 ) = 0 (7) λ par´metro real λ = −1. a Esta ecuaci´n representa a todas las circunferencias por P1 y P2 con excepci´n, o o en este caso de C2 . Si λ = −1 se obtiene la ecuaci´n de la recta que pasa por P1 y P2 , llamada eje o radical, es decir (M1 − M2 )x + (N1 − N2 )y + P1 − P2 = 0 (8)

Notemos tambi´n que todas las circunferencias de ´sta familia tienen sus centros e e M1 N1 M2 N2 sobre...