Geometria Del Espacio

Capítulo II
GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO
Introducción: En geometría analítica solo se tienen dos problemas:
Dada una ecuación, identificar a qué lugar geométrico representa y
Dados ciertos datos de un lugar geométrico determinar la ecuación que lo representa.
La geometría analítica en el espacio estudia los siguientes lugares geométricos: recta, plano, esfera, paraboloide circular, elípticoe hiperbólico, elipsoide, hiperboloide de una y dos hojas, cono y cilindro.
Sistema de Ejes Coordenados: Para representar un punto en el espacio se utiliza el sistema de coordenados rectangulares en el cual los ejes de coordenadas son identificados por las letras: X, Y y Z; la dirección positiva se indica por medio de una flecha.
Distancia entre dos Puntos: (Gráfico) Es la distancia más cortatrazada entre dos puntos en el espacio. Para hallar la misma se dispone de la siguiente fórmula:


Punto de División: (Gráfico) Son todos aquellos puntos que dividen a un segmento en una razón dada: r. Para hallar dicho punto se dispone de las siguientes fórmulas:


Dónde:
Punto Medio: (Gráfico) Es una caso particular del punto de división, el cual divide a un segmento dado en dos partes igualeses decir que r = 1
Para hallar el punto medio se debe reemplazar el valor de 1 en las ecuaciones de punto de división, es decir:


Ejem. 1
La Recta: (Gráfico) Es el lugar geométrico de puntos que satisface un sistema de ecuaciones lineales con tres variables, su elemento principal el vector dirección. Para conocer la ecuación de una recta se deben tener tres datos de la misma o relacionados conella; para graficar una recta basta con prolongar su vector dirección.
Ecuaciones de la Recta: Las ecuaciones de la recta responde al tipo de datos que se tengan, así tendremos:
1. Ecuación general:


2. Ecuación Cartesiana:

3. Ecuación dos Puntos:


4. Ecuación Paramétrica:

5. Ecuación Vectorial:


Dónde: son puntos del plano; es un parámetro y
Distancia de un Punto a una Recta: (Gráfico) Esla distancia mínima trazada desde un punto exterior hasta la recta, entonces es la proyección ortogonal; del punto exterior a la recta sobre la misma; su fórmula está dada por:



Rectas Paralelas y Ortogonales: (Gráfico) Las relaciones de paralelismo y ortogonalidad entre dos rectas se da comparando sus vectores direccionales, es decir:

Distancia entre dos Rectas: (Gráfico) Es ladistancia mínima trazada entre dos rectas no paralelas que se cortan, para encontrar dicha distancia se tiene la siguiente fórmula:


Ángulo Entre dos Rectas: Es el ángulo formado por sus vectores dirección siempre y cuando estas dos rectas se corten en un punto dado (Punto de Intersección). Para hallar dicho ángulo se utiliza la fórmula de ángulo entre dos vectores.Ejem. 2
El Plano: (Gráfica) Es el lugar geométrico de puntos que satisface una ecuación lineal de tres variables, para determinar la ecuación de un plano se deben conocer tres datos del mismo o relacionados con él; su elemento principal es su vector normal, el cual es un vector siempre perpendicular al plano, para graficar un plano se debe encontrar las intersecciones con los ejes coordenados, estosiempre y cuando la ecuación del plano sea completa caso contrario se deberá encontrar puntos que satisfagan la ecuación dada.
Ecuaciones del Plano: Las ecuaciones del plano responde al tipo de datos que se tengan, así tendremos:
1. Ecuación general:


2. Ecuación Reducida:

3. Ecuación Punto - Normal:

4. Ecuación Tres Puntos:



5. Ecuación Vectorial:

Dónde:
son puntos del plano, es elvector normal y son las intersecciones con los ejes respectivamente.
Distancia de un Punto a un Plano: (Gráfico) Es la distancia mínima trazada desde un punto exterior hasta el plano, su fórmula está dada por:


Angulo entre una Recta y un Plano: (Gráfico) Es el ángulo formado entre el vector dirección de la recta y la normal del plano, su fórmula está dada por:


Angulo...