Geometria Euclidiana

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LAS DEMOSTRACIONES GEOMETRICAS
Pedro Alegr´ (pedro.alegria@ehu.es)
ıa

La elegancia de las demostraciones geom´tricas es directamente proporcional al
e
n´mero de ideas que en ellas vemos e inversamente proporcional al esfuerzo requerido
u
para comprenderlas.
G. P´lya (1887-1985)
o

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INDICE
1. Origen de la geometr´
ıa.
2. Postulados de Euclides.
3. Geometr´ no eucl´
ıasıdeas.
4. Geometr´ urbana.
ıa
5. Teor´ axiom´tica.
ıa
a
6. Algunos teoremas elegantes.
7. Teorema de Pit´goras.
a
8. Consecuencias del teorema de Pit´goras.
a
9. Errores en las demostraciones geom´tricas.
e
10. Algunos problemas gr´ficos.
a
11. Geod´sicas.
e
12. S´lidos plat´nicos.
o
o
13. Raz´n ´urea.
oa

1

No es usual en la formaci´n matem´tica actual conocer los principaleshechos de la geometr´
o
a
ıa
elemental cl´sica. Sin embargo, a lo largo de la historia muchos resultados obtenidos por motivos
a
puramente intelectuales han dado gran impulso a muchas ´reas de las matem´ticas, as´ como a
a
a
ı
multitud de aplicaciones. Aqu´ daremos una panor´mica superficial a algunas ideas, sobre todo
ı
a
de matiz recreativo y curioso, a fin de suscitar la curiosidaddel lector, lo que pueda llevarle a
profundizar en estos temas.

1.

ORIGEN DE LA GEOMETR´
IA.

De todas las aportaciones conseguidas por los astr´nomos griegos, ninguna es m´s interesante
o
a
que la famosa medida de la circunferencia y el di´metro de la Tierra realizada por Erat´stenes,
a
o
con un error de 80 Km. respecto al valor que se usa actualmente. Su ingenioso m´todo fue ele
siguiente:

N
IO
CC L
IRE SO
DL
DE

ZE

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E

A

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N

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RI

A

De los archivos de la ´poca descubri´ que a mediod´ de cierto d´ del a˜o pod´ verse el sol
e
o
ıa
ıa
n
ıa
reflejado en cierto pozo de Siena, a 800 Km. al sur de Alejandr´ esto significaba que en ese
ıa;
momento el Sol estaba en su punto m´s alto. De acuerdo a esto, al llegar esed´ midi´ la sombra
a
ıa,
o
de una columna en Alejandr´ (en el mismo meridiano de Siena), a mediod´ encontrando la
ıa
ıa,
inclinaci´n del sol 1/50 de una circunferencia completa (7◦ 1/5) al sur de la vertical. Como los
o
rayos del sol son pr´cticamente paralelos, se conclu´ no s´lo que la Tierra no es plana, sino
a
ıa,
o
que los 800 Km. de distancia del arco entre Alejandr´ y el pozoabarcaban un ´ngulo central
ıa
a
◦ 1/5 (supuesta la Tierra esf´rica), lo que proporciona un valor para la circunferencia de la
de 7
e
Tierra igual a 800 · 50 Km. = 40000 Km.

CENTRO DE
LA TIERRA

2.

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SIE
DE
T
NI
ZE
2'

1
7º

ECUADOR

POSTULADOS DE EUCLIDES.

En el siglo III a.C., el matem´tico griego Euclides escribi´ su obra principal, ELEMENTOS, un
a
o
extensotratado de matem´ticas compuesto por 13 vol´menes sobre materias tales como geomea
u
tr´ plana, proporciones en general, propiedades de los n´meros, magnitudes inconmensurables
ıa
u
y geometr´ del espacio. Probablemente estudi´ en Atenas con disc´
ıa
o
ıpulos de Plat´n. Ense˜´ geoo
no
metr´ en Alejandr´ y all´ fund´ una escuela de matem´ticas. Los C´lculos (una colecci´n de
ıa
ıa
ı
oa
a
o
teoremas geom´tricos), los Fen´menos (una descripci´n del firmamento), la Optica, la Divisi´n
e
o
o
o
del canon (un estudio matem´tico de la m´sica) y otros libros se han atribuido durante mucho
a
u
tiempo a Euclides. Sin embargo, la mayor´ de los historiadores cree que alguna o todas estas
ıa
obras (aparte de los Elementos) se le han adjudicado err´neamente. Los historiadorescuestionan
o
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la originalidad de algunas de sus aportaciones. Probablemente las secciones geom´tricas de los
e
Elementos fueron en un principio una revisi´n de las obras de matem´ticos anteriores, como
o
a
Eudoxo, pero se considera que Euclides hizo diversos descubrimientos originales en la teor´ de
ıa
n´meros.
u
Hasta ese momento, la Geometr´ era un conjunto de resultados emp´...