Geometria por coordenadas

Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc.
Prof.Adjunto.

Geometría por Coordenadas
Versión 1/ 2011

1. Elementos de Geometría Analítica.
Introducción.
En la actualidad, el uso de las coordenadas cartesianas para los cálculos
topográficos es una necesidad imprescindible para cualquier topógrafo y en especial en el
ámbito de la ingeniería agrícola. En el pasado, eran admisibles otras técnicasaproximadas
para realizar replanteos en terrenos y obras, porque también las técnicas de levantamiento
no eran de relativa alta precisión, o no existian los recursos tecnológicos de calculadoras
programables u otros. En la actualidad, con el uso de teodolitos digitales y distanciómetros,
o con Estaciones Totales incluso de obras, se manejan precisiones comparativamente
elevadas y además por larapidez y confiabilidad de la técnica, nuestras operaciones de
campo tendrán alta confiabilidad.
Sin embargo, también trabajando con baja precisión como con un GPS navegador, el
dominio de la Geometría Analítica es fundamental, porque nos permitirá trabajar
eficientemente con imágenes Google o del SGM o cualquier otra, para realizar los informes
técnicos de manejo de suelos, riego, drenaje ocualquier otro vinculado con la profesión
agronómica.
1. 1. Proyecciones de un segmento
Si tenemos el segmento M1M2, trazamos por el origen una línea paralela u al eje
Ox. Designamos con θ el ángulo en que hay que hacer girar la línea u para que ésta
tenga la dirección el segmento M 1M2 . Si el ángulo lo tomamos como está convenido en
trigonometría, este ángulo se llama ángulo polar del segmentoM1M2. Es evidente que θ

Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas.
Área de Ingeniería Agrícola

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representa el ángulo polar del punto M 2 en el sistema polar de coordenadas, que tiene el
polo en el punto M1 y cuyo eje polar la semirrecta u; la longitud d del segmento
considerado representa en estesistema el radio polar del punto M 2.
Los números X,Y son las coordenadas cartesianas del punto M 2 y por tanto se cumple
X = d cos θ ; Y = d sen θ
Esta es la relación biunívoca entre coordenadas polares y cartesianas, tal cual se expresa
en la geometría analítica y de acuerdo a la convención matemática de medida angular en
sentido antihorario.
Veremos más adelante que en la prácticatopográfica se utiliza otra convención de medir el
ángulo en sentido horario con referencia al Norte geográfico, magnético, arbitrario o de
cuadrícula.-

XA = d x sin 
YA = d x cos 
Esta es la convención de los topógrafos de medir los ángulos en el sentido de las agujas
del reloj. Por lo tanto, si el ángulo  es un valor azimutal , = Az tendremos
XA = d x sin Az
YA = d x cos Az
O en el sistemaNorte , Este EA = d
NA = d

sin Az
x cos Az

x

1. 2. Distancia entre puntos
Uno de los problemas elementales que más frecuentemente se suele resolver en
geometría analítica es el de la determinación de la distancia entre dos puntos dados
Cualquiera que sea la posición de los puntos M 1(x1 , y1) y M2 (x2 , y2) en el plano, la
distancia d entre ellos se determina por la fórmula
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d=

( x2 – x1 )2 + (y2 – y1)2

Designemos con la letra N el punto intersección de las rectas M 1Q1 y M2P2 , como el
triángulo M1M2N es rectángulo, según el teorema de Pitágoras, tenemos
M1 N 2 + M 2 N 2

d=

Pero es evidente que laslongitudes de los catetos M 1N y M2N coinciden con los valores
absolutos de las proyecciones X, Y del segmento M 1M2 sobre los ejes coordenados y por
tanto
d=

X 2 + Y 2

Por ejemplo, sean los puntos 1 ( 2100.26 / 1998.98)
distancia entre los mismos será igual a

y

2 ( 2013.32 / 2194.13) la

Dis 1-2 = √ (2100.26 – 2013.32)2 + ( 1998.98 – 2194.13)2 = 213.64 m
Veamos un segundo...